Определитель

Определитель матрицы — это число равное алгебраической сумме всевозможных произведений n элементов матрицы размерности nxn, не лежащих в одной строке и в одном столбце, причём произведения берутся со знаком, определяемым по числу инверсий (для чётного числа инверсий знак "+", для нечётного числа инверсий знак "-").

Обозначения

Введём обозначения:

n – порядок матрицы;

nxn – размерность матрицы;

a_ij – элемент матрицы, лежащий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца матрицы;

– матрица A;

– определитель матрицы.

Инверсия

Инверсией называется нарушение порядка (возрастания) в наборе индексов (чисел в перестановке).

Число инверсий – это число всех нарушений порядка (возрастания) в наборе индексов (чисел в перестановке).

– число инверсий перестановки или набора индексов.

Примеры:

Формулы:

• Заметим, что определитель существует только для квадратных матриц.

Примеры:

Определитель 1-ого порядка

• Заметим, что |a₁₁| - это не модуль числа, а определитель матрицы из одного элемента.

Определитель 2-ого порядка

Отсюда следует формула вида:

Определитель 3-его порядка

Отсюда следует формула вида:

Другие операции:

• сложение матриц;
• вычитание матриц;
• умножение матрицы на число;
• умножение матриц;
• деление матриц;
• транспонирование матрицы;
• обращение матрицы;
• обращение клеточной матрицы;
• возведение в степень матрицы;
• нахождение определителя;
• нахождение минора;
• нахождение алгебраического дополнения.

Ссылки

• Участник:Logic-samara