Длина дуги лемнискаты Бернулли — различия между версиями
Строка 26: | Строка 26: | ||
'''t<sub>2</sub>''' — параметр второй точки дуги; | '''t<sub>2</sub>''' — параметр второй точки дуги; | ||
− | '''t''' — вспомогательная | + | '''t''' — вспомогательная параметричиская переменная; |
'''F(k,t)''' — [[эллиптические интегралы|эллиптический интеграл]] I рода; | '''F(k,t)''' — [[эллиптические интегралы|эллиптический интеграл]] I рода; |
Версия 08:08, 2 сентября 2016
Длина дуги лемнискаты Бернулли — это число, характеризующее протяжённость дуги лемнискаты Бернулли в единицах измерения длины.
Лемниската Бернулли — это геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до фокусов ((-c,0) и (c,0)) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами (c2).
Обозначения
Введём обозначения:
F1 — правый фокус;
F2 — левый фокус;
c — половина расстояния между фокусами;
(x2+y2)2=2c2(x2-y2) — уравнение лемнискаты Бернулли;
φ1 — угол (меньший) первой точки дуги;
φ2 — угол (больший) второй точки дуги;
φ — независимая переменная;
r2=2c2cos2φ — уравнение лемнискаты Бернулли в полярных координатах;
t1 — параметр первой точки дуги;
t2 — параметр второй точки дуги;
t — вспомогательная параметричиская переменная;
F(k,t) — эллиптический интеграл I рода;
Lдуг.лемн — длина дуги лемнискаты Бернулли.
Формула
- Заметим, что периметр лемнискаты Бернулли равен Pлемн=4cF(√2/2,π/2).
Вывод формулы
- Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в полярных координатах.
- Для нахождения интеграла используется эллиптический интеграл I рода.
Другие формулы:
- плоская кривая;
- окружность;
- парабола;
- эллипс;
- гипербола;
- синусоида;
- косинусоида;
- циклоида;
- кардиоида;
- астроида;
- эпициклоида;
- гипоциклоида;
- эвольвента;
- цепная линия;
- трактриса;
- лемниската Бернулли.
Ссылки
- Храбров А. И. Немного об эллиптических интегралах. http://www.math.spbu.ru/analysis/f-doska/ellint.pdf
- Участник:Logic-samara