Длина дуги кардиоиды

Кардиоида

Длина дуги кардиоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги кардиоиды в единицах измерения длины.

Кардиоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по окружности того же радиуса.

Катящаяся окружность называется производящей.

Рассмотрим дуги кардиоиды при -π≤φ≤π.

Содержание

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

φ₁ — угол (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

φ₂ — угол (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

φ — независимая переменная;

r=2R(1+cosφ) — уравнение кардиоиды в полярных координатах;

t — параметрическая переменная;

x=2Rcost(1+cost) — параметрическое уравнение абсциссы кардиоиды;

y=2Rsint(1+cost) — параметрическое уравнение ординаты кардиоиды;

L_{дуг.кард} — длина дуги кардиоиды.

Длина полной (от -π до π) кардиоиды равна шестнадцати радиусам производящей окружности, L_кард=16R.

Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в полярных координатах.