Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами — различия между версиями
Материал из ALL
(Новая страница: «'''Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентам…») |
м |
||
| (не показано 6 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 11: | Строка 11: | ||
'''y<sup>’</sup>''' – производная функции; | '''y<sup>’</sup>''' – производная функции; | ||
| − | '''y<sup>’’</sup>''' – вторая производная функции | + | '''y<sup>’’</sup>''' – вторая производная функции; |
| − | ''' | + | '''f(x)''' – правая часть в дифференциальном уравнении. |
== Дифференциальное уравнение == | == Дифференциальное уравнение == | ||
[[файл:ДИФ250.JPG]] | [[файл:ДИФ250.JPG]] | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
* '''r<sub>1</sub>=r<sub>2</sub>''' - два действительных равных корня при '''b<sup>2</sup>=4ac'''; | * '''r<sub>1</sub>=r<sub>2</sub>''' - два действительных равных корня при '''b<sup>2</sup>=4ac'''; | ||
* '''r<sub>1,2</sub>=α±βi''' - два сопряжённых комплексных корня при '''b<sup>2</sup><4ac'''. | * '''r<sub>1,2</sub>=α±βi''' - два сопряжённых комплексных корня при '''b<sup>2</sup><4ac'''. | ||
| + | |||
| + | Введём дополнительные обозначения. | ||
| + | |||
| + | '''k''' – кратность корня в характеристическом уравнении; | ||
| + | |||
| + | '''P<sub>n</sub>(x), Q<sub>n</sub>(x)''' – многочлены n-степени. | ||
== Общее решение == | == Общее решение == | ||
[[файл:ДИФ251.JPG]] | [[файл:ДИФ251.JPG]] | ||
[[файл:ДИФ252.JPG]] | [[файл:ДИФ252.JPG]] | ||
| − | == Другие дифференциальные уравнения: == | + | == [[Дифференциальные уравнения|Другие дифференциальные уравнения:]] == |
| − | + | {{Список ДУ}} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М. Наука, 1973, стр.569. | * Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М. Наука, 1973, стр.569. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
| − | [[Категория:Математика]] | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Уравнения]] |
Текущая версия на 12:26, 31 мая 2017
Неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами — это уравнения вида ay’’+by’+cy=f(x) (с правой частью).
Содержание
Обозначения
Введём обозначения:
x – переменная – аргумент функции;
y – переменная – функция;
a, b, c – постоянные коэффициенты;
y’ – производная функции;
y’’ – вторая производная функции;
f(x) – правая часть в дифференциальном уравнении.
Дифференциальное уравнение
– характеристическое уравнение
– корни характеристического уравнения.
Возможны три случая для корней характеристического уравнения:
- r1≠r2 - два действительных неравных корня при b2>4ac;
- r1=r2 - два действительных равных корня при b2=4ac;
- r1,2=α±βi - два сопряжённых комплексных корня при b2<4ac.
Введём дополнительные обозначения.
k – кратность корня в характеристическом уравнении;
Pn(x), Qn(x) – многочлены n-степени.
Общее решение
Другие дифференциальные уравнения:
- с разделяющимися переменными;
- однородное;
- линейное;
- уравнение Бернулли;
- уравнение в полных дифференциалах;
- уравнение Клеро;
- уравнение второго порядка, не содержащее y и y’;
- уравнение второго порядка, не содержащее y;
- уравнение второго порядка, не содержащее x;
- однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
- неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
- уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
- однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
- неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
- общее дифференциальное уравнение.
Ссылки
- Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М. Наука, 1973, стр.569.
- Участник:Logic-samara
