Длина дуги гипоциклоиды — различия между версиями

Текущая версия на 06:50, 1 октября 2016

Длина дуги гипоциклоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги гипоциклоиды в единицах измерения длины.

Гипоциклоида — это линия, описываемая точкой окружности (производящая), когда последняя катится без скольжения внутри неподвижной окружности (направляющая).

Рассмотрим дуги гипоциклоиды при 0≤t≤π/2.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — радиус направляющей окружности;

r — радиус производящей окружности;

t — параметрическая переменная;

x=(R-r)cost+rcos[(R-r)t/r] — параметрическое уравнение абсциссы гипоциклоиды;

y=(R-r)sint-rsin[(R-r)t/r] — параметрическое уравнение ординаты гипоциклоиды;

L_{гипоцикл} — длина дуги гипоциклоиды.

Формула

• Заметим, что астроида является гипоциклоидой.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в параметрической форме.

Другие кривые:

Ссылки

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.805.
• Участник:Logic-samara