Длина дуги астроиды — различия между версиями
(Новая страница: «'''Длина дуги астроиды''' — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в един…») |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Длина дуги астроиды''' — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины. | '''Длина дуги астроиды''' — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины. | ||
| − | '''Астроида''' — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса | + | '''Астроида''' — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса. |
| − | Рассмотрим дуги | + | Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки '''(0,R)''' до точки '''(R,0)'''. |
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| Строка 25: | Строка 25: | ||
'''M=(x,y)''' — точка астроиды; | '''M=(x,y)''' — точка астроиды; | ||
| − | '''M<sub>0</sub>=(0,R)''' — вершина | + | '''M<sub>0</sub>=(0,R)''' — вершина астроиды; |
'''t''' — параметрическая переменная; | '''t''' — параметрическая переменная; | ||
Версия 15:14, 24 июня 2016
Длина дуги астроиды — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины.
Астроида — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса.
Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки (0,R) до точки (R,0).
Содержание
Обозначения
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
t1 — параметр первой точки дуги;
x2 — абсцисса (большая) второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
t2 — параметр второй точки дуги;
R — радиус окружности и высота астроиды;
r — радиус малой окружности;
M=(x,y) — точка астроиды;
M0=(0,R) — вершина астроиды;
t — параметрическая переменная;
x=Rcos3t — параметрическое уравнение абсциссы астроиды;
y= Rsin3t — параметрическое уравнение ординаты астроиды;
Lдуг.астр — длина дуги астроиды.
Формула
- Заметим, что длина дуги трактрисы M0M от вершины равна Lt=-Rln|sint|.
Вывод формулы
1-ый способ
- Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной в декартовых координатах.
2-ой способ
- Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой для функции, заданной параметрически.
Другие формулы:
Ссылки
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.814.
- Участник:Logic-samara
