Длина дуги трактрисы — различия между версиями
Материал из ALL
| (не показано 12 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | '''Длина дуги трактрисы''' — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины. | + | [[файл:ТРАК01.JPG|thumb|300|Трактриса]] |
| + | '''Длина дуги трактрисы''' — это число, характеризующее протяжённость дуги [[Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс|трактрисы]] в единицах измерения длины. | ||
'''Трактриса''' — это линия, исходящая из вершины '''M<sub>0</sub>''' в обе стороны, описываемая точкой '''M''', увлекаемой нерастяжимой нитью '''LM''' длиной '''R''', при движении точки '''L''' по направляющей (оси абсцисс). | '''Трактриса''' — это линия, исходящая из вершины '''M<sub>0</sub>''' в обе стороны, описываемая точкой '''M''', увлекаемой нерастяжимой нитью '''LM''' длиной '''R''', при движении точки '''L''' по направляющей (оси абсцисс). | ||
| Строка 7: | Строка 8: | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| − | '''x<sub>1</sub>''' — абсцисса (меньшая) первой точки | + | '''x<sub>1</sub>''' — абсцисса (меньшая) первой точки; |
| − | '''y<sub>1</sub>''' — ордината первой точки | + | '''y<sub>1</sub>''' — ордината первой точки; |
| − | '''t<sub>1</sub>''' — параметр первой точки | + | '''t<sub>1</sub>''' — параметр (меньший) первой точки; |
| − | '''x<sub>2</sub>''' — абсцисса (большая) второй точки | + | '''x<sub>2</sub>''' — абсцисса (большая) второй точки; |
| − | '''y<sub>2</sub>''' — ордината второй точки | + | '''y<sub>2</sub>''' — ордината второй точки; |
| − | '''t<sub>2</sub>''' — параметр второй точки | + | '''t<sub>2</sub>''' — параметр (больший) второй точки; |
| − | '''R''' — | + | '''R''' — высота трактрисы; |
'''L''' — точка оси абсцисс, являющейся направляющей; | '''L''' — точка оси абсцисс, являющейся направляющей; | ||
| Строка 27: | Строка 28: | ||
'''M<sub>0</sub>=(0,R)''' — вершина трактрисы; | '''M<sub>0</sub>=(0,R)''' — вершина трактрисы; | ||
| − | '''t''' — параметрическая переменная; | + | '''t''' — параметрическая переменная (угол наклона трактрисы); |
'''x=R[cost+lntg(t/2)]''' — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы; | '''x=R[cost+lntg(t/2)]''' — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы; | ||
| Строка 36: | Строка 37: | ||
== Формула == | == Формула == | ||
[[файл:ДТР01.JPG]] | [[файл:ДТР01.JPG]] | ||
| − | * | + | * Длина дуги трактрисы '''M<sub>0</sub>M''' от вершины равна '''L<sub>t</sub>=-Rln|sint|'''. |
== Вывод формулы == | == Вывод формулы == | ||
[[файл:ДТР11.JPG]] | [[файл:ДТР11.JPG]] | ||
| − | * Для вывода используется формула "[[длина дуги плоской кривой]]" | + | * Для вывода используется формула '''"[[длина дуги плоской кривой]]"''' в параметрической форме. |
| − | == Другие | + | == Другие кривые: == |
{{Список ДПК}} | {{Список ДПК}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| + | * Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.114. | ||
* Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.822. | * Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.822. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 06:53, 1 октября 2016
Длина дуги трактрисы — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины.
Трактриса — это линия, исходящая из вершины M0 в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).
Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0,R).
Обозначения
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой точки;
y1 — ордината первой точки;
t1 — параметр (меньший) первой точки;
x2 — абсцисса (большая) второй точки;
y2 — ордината второй точки;
t2 — параметр (больший) второй точки;
R — высота трактрисы;
L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;
M=(x,y) — точка трактрисы;
M0=(0,R) — вершина трактрисы;
t — параметрическая переменная (угол наклона трактрисы);
x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;
y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;
Lдуг.трак — длина дуги трактрисы.
Формула
- Длина дуги трактрисы M0M от вершины равна Lt=-Rln|sint|.
Вывод формулы
- Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в параметрической форме.
Другие кривые:
- плоская кривая;
- окружность;
- парабола;
- эллипс;
- гипербола;
- синусоида;
- косинусоида;
- циклоида;
- кардиоида;
- астроида;
- эпициклоида;
- гипоциклоида;
- эвольвента;
- цепная линия;
- трактриса;
- лемниската Бернулли.
Ссылки
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.114.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.822.
- Участник:Logic-samara
