Классический метод Рунге-Кутты

Классический метод Рунге-Кутты — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.

Описание метода

Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x₀,y₀).

Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка.

Формулы

Правило Рунге

Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:

, где

y_h – значение решения y при шаге h,

y_h/2 – значение решения y при шаге h/2,

m – порядок точности формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:

, где

y_h – значение решения y при шаге h,

y_h/2 – значение решения y при шаге h/2,

y_2h – значение решения y при шаге 2h),

m – порядок точности формулы.

Правило Коллатца

При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:

.

Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением y (по сравнению со значением y_h/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

, где

y_h – значение решения y при шаге h,

y_h/2 – значение решения y при шаге h/2,

m – порядок точности формулы.

• Заметим, что обобщением классического метода Рунге-Кутты является обобщённый метод Рунге-Кутты, используемый для решения систем дифференциальных уравнений.

Другие методы:

• метод Эйлера;
• исправленный метод Эйлера;
• усовершенствованный метод Эйлера;
• метод Адамса третьего порядка;
• метод Рунге-Кутты третьего порядка;
• классический метод Рунге-Кутты.

• Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.

Ссылки

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara