Расстояние между прямыми

Расстояние между прямыми — это длина перпендикуляра к этим прямым, соединяющего две точки этих прямых (одна точка на одной прямой, другая на другой).

Обозначения

Введём обозначения:

r₁=(x₁,y₁,z₁) — радиус-вектор точки на первой прямой;

r₂=(x₂,y₂,z₂) — радиус-вектор точки на второй прямой;

s₁=(l₁,m₁,n₁) — направляющий вектор первой прямой;

s₂=(l₂,m₂,n₂) — направляющий вектор второй прямой;

— уравнение первой прямой;

— уравнение второй прямой;

d₁₂ — расстояние между первой и второй прямыми.

Формула для скрещивающихся прямых

Для скрещивающихся прямых формула имеет вид:

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно отношению модуля смешанного произведения векторов (r₂-r₁), s₁ и s₂ к модулю векторного произведения векторов s₁ и s₂. Геометрический смысл формулы: расстояние - это длина высоты параллелепипеда (построенного на векторах (r₂-r₁), s₁ и s₂), опущенной на основание в виде параллелограмма (построенного на векторах s₁ и s₂), равная отношению объёма параллелепипеда к площади параллелограмма.

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми в координатной форме имеет вид:

.

Формула для параллельных прямых

Для параллельных прямых формула имеет вид:

Расстояние между параллельными прямыми равно отношению модуля векторного произведения векторов (r₂-r₁) и s₁ к длине вектора s₁. Геометрический смысл формулы: расстояние - это длина высоты параллелограмма (построенного на векторах (r₂-r₁) и s₁), опущенной на основание параллелограмма в виде вектора (s₁), равная отношению площади параллелограмма к длине основания.

Формула расстояния между параллельными прямыми в координатной форме имеет вид:

.

• Для параллельных прямых формула верна для векторов (r₂-r₁) и s₂ также, как и для векторов (r₂-r₁) и s₁.

Другие формулы:

• Расстояние от точки до прямой;
• Расстояние от точки до плоскости;
• Проекция вектора на вектор;
• Основание перпендикуляра из точки к прямой;
• Основание перпендикуляра из точки к плоскости;
• Точка пересечения прямой и плоскости;
• Точка пересечения трёх плоскостей;
• Уравнение перпендикуляра из точки к плоскости;
• Угол между векторами;
• Угол между прямыми;
• Угол между плоскостями;
• Угол между прямой и плоскостью.

Ссылки

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara