Арифметика — различия между версиями

Текущая версия на 20:41, 18 октября 2020

Арифметика — исторически первый раздел математики, изучающий натуральные и целые числа.

Элементарная арифметика доступна детям дошкольного возраста и сводится к технике сложения, вычитания и умножения, а также деления большего числа́ на меньшее.

Высшая арифметика — Теория чисел — изучает закономерности целых чисел с применением понятий и операций, определяемых для более сложных математических объектов, таких, как действительные числа.

Арифметика в школе

Математическое образование практически во всех случаях начинается с арифметики. Для записи чисел со Средних Веков и поныне наиболее широко используются арабские цифры, и детей приучают к алгоритмам умножения и деления, оптимальным для десятичной позиционной системы счисления: умножение и деление столбиком. Арифметические соотношения «небольших» чисел предлагается запоминать в уме, например, через таблицу умножения.

Через арифметику проходит знакомство с практикой познания, необходимой в дальнейшем изучении математики: связывая числа через арифметические операции и скобки, вводится понятие о выражениях и об их упрощении через логический процесс вычисления. Через понятия об уравнении и переменной далее проводится изучение того языка, на котором преподаётся алгебра, геометрия, статистика, математический анализ, логика высказываний и любые теории, вовлекающие функциональный подход.

Обучение арифметики развивает логическое мышление детей, их сообразительность. В средней школе далее изучают расширения понятия о числе:рациональные, алгебраические, действительные, комплексные. Соответствующие разделы теории принято объединять в учебную дисциплину высшей педагогической школы под названием «теоретическая арифметика».

История арифметики

Арифметика и геометрия — давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять земельные участки и время. Арифметика возникла в странах древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Например, египетский папирус Ахмеса (названный по имени его владельца Г. Ахмеса) датируется двадцатым веком до нашей эры.

Математические знания накопленные в странах Древнего Востока развивались дальше учеными Древней Греции. История сохранила имена многих ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире: Анаксагор, Зенон, Евклид, Архимед, Эратосфен, Диофант. Особенно стоит выделить имя Пифагора, пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) обожали числа, считая, что в них содержится вся гармония мира. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа 7 и 36, тогда же было обращено внимание на так называемые совершенные числа, дружественные числа.

Египетская, греческая и римская системы счисления (записи чисел) были непозиционными. Позиционными были шумерско-вавилонская система (на основе числа 60) и система майя (на основе числа 20), хотя в них вместо цифр использовалась аддитивная система с линиями и точками.

В средневековье развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, арабским миром и Средней Азией. От индийцев пришли к нам десятичная система счисления, современные цифры (использовались в произведениях Ариабхаты I (начало VI в.)), ноль (Брахмагупта VII в.); от аль-Каши (XV в.), который работал в Самаркандской обсерватории Улугбека, — десятичные дроби.

Одновременно с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные книги по математике. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году. В «Полной арифметике» немецкого математика Михаэля Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования. Примерно с XVI в. развитие арифметики сливается с алгеброй. Значительными событиями были труды Франсуа Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Описание

Основной объект арифметики — число. Натуральные числа возникли со счетом конкретных предметов. С развитием языка люди усвоили, что две птицы, две руки, два человека можно назвать одним и тем же словом — «два». Важная задача арифметики — научиться абстрагироваться от формы предметов, их размера, цвета. Уже у Фибоначчи появляется задача: «Семь женщин идут в Рим. У каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе 7 ножей, каждый нож в 7 ножнах. Сколько всех?» Для решения этой задачи подытожить различные сущности, добавить женщин к мулам, мешки к хлебам и так до конца. Развитие понятия числа — появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) — все это имеет богатую и интересную историю.

В арифметике числа добавляют, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно выполнять эти действия над любыми числами долго считалось важнейшей задачей арифметики. В наше время устно или на бумаге мы делаем лишь простейшие вычисления, а сложные — с помощью вычислительной техники. Математические операции могут быть записаны с использованием соответствующих символов «+», «-», «×» и «÷» и знака равенства «=», например

3 + 4 × 5 = 23.

Записанные таким образом арифметические операции выполняются в определенном порядке, который называют очередностью операций: сначала умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Последовательность выполнения операций можно изменить с помощью скобок.

Позиционная система счисления позволила упростить арифметические операции, сводя их к действиям с цифрами в одном разряде, поэтому практически для выполнения вычислений достаточно помнить результаты операции сложения в пределах 20 и таблицу умножения в пределах 100.

Для дальнейшего упрощения арифметических операций традиционно изобретению калькуляторов использовались счеты, а для умножения — логарифмические линейки.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, были пропорции и проценты. Большинство понятий и методов математики основывается на зависимостях между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков. Можно четко проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становится понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самом математике и ее приложениях играет обратный процесс — перевод геометрической информации на язык чисел (см. Графические вычисления). В основе этого переводе играет идея французского философа и математика Рене Декарта об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, до него эта идея уже использовалась, например, в морском деле, когда надо было определить местонахождение корабля, а также в астрономии, геодезии. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом космического аппарата) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел.

Смотрите также

• Деление многочлена (полинома) на многочлен