Деление многочлена (полинома) на многочлен

Материал из ALL
Перейти к: навигация, поиск

Деление многочлена (полинома) на многочлен — способ, позволяющий поделить многочлен (полином) на еще один многочлен способом, похожим на обычное деление целых чисел столбиком. Проходится в старшей школе.

Известно, что один многочлен можно поделить на другой многочлен, старшая степень которого меньше старшего степени первого многочлена, единственным способом. Если заданы многочлены P1(x) и P2(x), то их можно представить в виде P1(x) = P2(x)*P3(x) + P4(x). Аналогично происходящему в целых числах алгоритму деления с остатком, P1(x) можно назвать делимым, P2(x) — делителем, P3(x) — частным, а P3(x) — остатком от деления.

При этом если делается деление многочлена P1(x) на многочлен вида (x-x1), где x1 — один из корней P1(x), то после деления остатка нет, то есть производится разложение вида P1(x) = (x-x1)*P3(x).

Алгоритм деления на бумаге предельно прост. Необходимо записать исходный многочлен, рядом в «уголке» делитель. После этого надо под делителем написать такой множитель, который при умножении даст в точности старшую степень делимого, после чего умножить делитель на этот множитель и записать его под многочленом, после чего из делимого его вычесть. Повторять, пока степень остатка не станет меньше степени делимого.

Практическое применение[править]

Способ имеет практическое применение при решении школьных полиномиальных уравнений высокой степени. При этом можно попробовать угадать корень уравнения (обычно методом подбора пытаются подобрать 0, 1, −1 и т. п. простые целые числа). Затем произвести деление многочлена на (x-x1) и решать полученное уравнение меньшей степени.

   ±