Деление многочлена (полинома) на многочлен

Материал из ALL
Перейти к: навигация, поиск

Деление многочлена (полинома) на многочлен — способ, позволяющий поделить многочлен (полином) на еще один многочлен способом, похожим на обычное деление целых чисел столбиком. Проходится в старшей школе.

Известно, что один многочлен можно поделить на другой многочлен, старшая степень которого меньше старшего степени первого многочлена, единственным способом. Если заданы многочлены P1(x) и P2(x), то их можно представить в виде P1(x) = P2(x)*P3(x) + P4(x). Аналогично происходящему в целых числах алгоритму деления с остатком, P1(x) можно назвать делимым, P2(x) — делителем, P3(x) — частным, а P4(x) — остатком от деления.

При этом если делается деление многочлена P1(x) на многочлен вида (x-x1), где x1 — один из корней P1(x), то после деления остатка нет, то есть производится разложение вида P1(x) = (x-x1)*P3(x).

Алгоритм деления на бумаге предельно прост. Необходимо записать исходный многочлен, рядом в «уголке» делитель. После этого надо под делителем написать такой множитель, который при умножении даст в точности старшую степень делимого, после чего умножить делитель на этот множитель и записать его под многочленом, после чего из делимого его вычесть. Повторять, пока степень остатка не станет меньше степени делимого.

Практическое применение

Способ имеет практическое применение при решении школьных полиномиальных уравнений высокой степени. При этом можно попробовать угадать корень уравнения (обычно методом подбора пытаются подобрать 0, 1, −1 и т. п. простые целые числа). Затем произвести деление многочлена на (x-x1) и решать полученное уравнение меньшей степени.

Интересные факты

  • Именно это действие стало объектом многочисленных шуток из-за пошлой игры слов.
   ±