Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс

Трактриса

Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой цепной линии при -∞<x<∞ в единицах измерения площади.

Трактриса — это линия, исходящая из вершины M₀ в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).

Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0,R).

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M=(x,y) — точка трактрисы;

M₀=(0,R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная;

x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

S_трак — площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс при 0≤x₁≤x₂<∞.

• Заметим, что площадь, ограниченная дугой трактрисы M₀M и осью абсцисс, равна S_t=R²sh(x/R).

• Для вывода используется формула "площадь плоской фигуры" заданной параметрически.

• Участник:Logic-samara