Характеристика и теорема Ферма
Характеристика и теорема Ферма
Каждое простое число m имеет характеристику. Характеристика представляет собой число или совокупность чисел, обладающих определеными свойствами и обозначается как Kh m . Общее количество цифр входящих в характеристику называется ее рангом R и для простого числа m составляет m-1.
Ринг умножение
Ринг умножение характеристики на целое число выполняется по обычным правилам умножения, но избыточные старшие разряды отсекаются и суммируются с младшими разрядами. Например:123хКh 7= 123х142857=17571411. 17571411-17000000=571411. 571411+17=571428. То есть <math>123\circ Kh 7 = 571428</math>. Ринг умножение обозначается знаком «<math>\circ</math>» и результат сохраняет неизменным количество цифр.
Свойства характеристики
- Ринг умножение характеристики на любое целое число (не кратное основанию)не меняет последовательности ее цифр и приводит только к их сдвигу. Количество шагов сдвига обозначается индексом внизу: <math>A\circ Kh_{0,m} = Kh_{s, m}</math> .
- Соотношение <math>A\circ Kh_{s, m} = B\circ Kh_{s, m}</math> эквивалентно <math>A\equiv B(mod m)</math>(в частности, если <math>A^R\circ Kh_{0,m}=Kh_{0,m}</math> то <math>A^R\equiv 1 (mod m)</math> Для простого числа m R=m-1 ,для произведения простых чисел mn <math>R=(m-1)(n-1)</math>, для степени <math>m^p</math> ранг <math>R=m^{p-1}x(m-1)</math>.
- Если <math>A\circ Kh_{0,m}=Kh_{s, m}</math> и <math>B\circ Kh_{0,m}=Kh_{p, m}</math>, то для произведения АВ сдвиги суммируются то есть <math>AB\circ Kh_{0,m} = Kh_{s+p, m}</math> и <math>A^n\circ Kh_{0,m} = Kh_{ns, m}</math>
- Характеристика может быть получена из периода от деления натурального числа на исходное простое число.
- Справедливо равенство: <math>Kh_{s, m} = 10^s\circ Kh_{0,m}</math> то есть сдвиг на s шагов может быть получен ринг умножением характеристики на <math>10^s</math>.
- Все цифры характеристики образуют пары дающие в сумме 9.
- Рассмотрим равенство: А+В=С. Умножим обе части на <math>Kh_{0,m}</math>.Пусть <math>A\circ Kh_{0,m}=Kh_{s, m}</math> и <math>B\circ Kh_{0,m}=Kh_{p, m}</math> . Если p>s, можно записать <math>A\circ Kh_{0,m} + A\circ Kh_{(p-s), m} = C\circ Kh_{0,m}</math> или <math>A\circ Kh_{0,m} + 10^{p-s}\circ Kh_{0,m} = C\circ Kh_{0,m}</math>, что означает <math>A[1+10^{p-s}]\equiv C (mod m)</math>.
- Сравнение <math>C^n\equiv x (mod m)</math> (кроме случаев С кратно m) при целом р имеет <math>p=\frac{m-1}{n}</math> решений. Решения могут быть получены из формулы <math>x = m10^{-(m-1)}Kh_{p_{i, m}}</math>, где <math>p_i=(m-1)/i/n</math>.
Теорема Ферма То есть равенство <math>A^n+B^n = C^n</math> (1) не имеет места при целых А,В,С. и n>2. Это равносильно утверждению, что сравнение <math>A^n + B^n \equiv C^n (mod m)</math> не выполняется при каком либо модуле m. На основании свойств характеристики (3)и (7) можно записать: <math>A^n(1+10^{nt})\circ Kh_{0,m} = C^noKh_0,m</math> или <math>A^n(1+10^{nt})\equiv C^n (mod m)</math> (2)
И если сравнение (2) не выполняется, то не имеет места и равенство (1). Учитывая свойство (8), где под С понимается любое целое число (А,С,<math>10^t</math>) в степени n, обозначим его сравнение по модулю m через х, а сравнение <math>1+10^{nt}</math> через х'. Тогда для выполнения сравнения (2)нужно, чтобы удовлетворялось сравнение <math>xx'\equiv x (mod m)</math>. (3) Пусть, например, n=2,m=7. Сравнение <math>A^2\equiv x (mod 7)</math> должно иметь 3 решения: <math>x_1=1, x_2=2 ,x_3=4</math> соответственно <math>x'_1=2, x'_2=3, x'_3 =5</math>. В этом случае сравнение (3)выполняется для решений <math>x_1,x'_1 ; x_1,x'_2</math> и равенство (1) может иметь место. Для случая n =3 , m =7 имеем 2 решения : <math>x_1=1</math> и <math>x_2=6</math> соответственно <math>x'_1=2</math> и <math>x'_2=7</math> (то есть 0 по модулю 7) в этом случае сравнение (3) не выполняется ни для одного решения и равенство (1)невозможно. Аналогично может быть рассмотрен вариант <math>n =4</math> и <math>m =13</math>. Здесь также совпадающие решения отсутствуют. как и для более высоких степеней.
Текст заголовка
Литература: В.Воронель ЦФАТ 2006.
