СМО с отказами

Математическая модель СМО с отказами

СМО с отказами — это система массового обслуживания, в которой есть каналы обслуживания, но нет очереди: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается любым одним каналом, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается одним из свободных каналов, иначе если заявка приходит - когда заняты все каналы, то заявка покидает систему (теряется).

Описание модели

На вход n-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из n-каналов.

Если заявка застаёт свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она получает отказ (покидает систему не обслуженной).

После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S₂ – в системе имеется две заявки, они обслуживается двумя каналами;

…;

S_k – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

S_k+1 – в системе имеется (k+1)-заявок, они обслуживаются (k+1)-каналами;

…;

S_n-1 – в системе имеется (n-1)-заявок, они обслуживаются (n-1)-каналами;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами.

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_n.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

• Заметим, что при n=1 СМО с отказами становится одноканальной.

Другие СМО:

• СМО с отказами;
• СМО с очередью;
• СМО с ограниченным временем ожидания;
• СМО замкнутая с очередью;
• СМО с взаимопомощью с очередью;
• СМО с отказами и взаимопомощью;
• СМО с бесконечным числом каналов;
• СМО с бесконечной очередью;
• СМО замкнутая без очереди.

Ссылки

• Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
• Участник:Logic-samara