Метод итераций

Метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x=φ(x), которая выводится из уравнения f(x)=0.

Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.

Метод итераций применим, если уравнение вида f(x)=0 сводится к уравнению вида x=φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и max|φ’(x)|<1.

Для решения рассчитываются вспомогательные параметры q и δ, где δ — уточнённая точность.

Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0.

Уравнение вида f(x)=0 преобразуем к уравнению вида x=φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и max|φ’(x)|<1.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: φ(x), φ’(x), a, b, ε.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Если f(x)=0, то x — точное решение.

Другие методы:

• деление отрезка пополам;
• комбинированный метод;
• метод итераций;
• метод касательных;
• метод хорд;
• универсальный метод итераций.

• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Ссылки

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara