СМО с очередью — различия между версиями

Версия 22:46, 16 октября 2020 (просмотреть исходный код) (имя автора стёрто) (Содержимое страницы заменено на «...долбёжки в зад.») ← Предыдущая правка		Текущая версия на 06:12, 17 октября 2020 (просмотреть исходный код) Logic-samara (обсуждение | вклад) м (описание правки удалено)
Строка 1:		Строка 1:
−	...долбёжки в зад.	+	[[файл:СМО22.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с очередью]]
		+	'''[[СМО с бесконечной очередью|СМО с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
		+	== Описание модели ==
		+	На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''.
		+
		+	Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''.
		+
		+	Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из '''n''' каналов.
		+
		+	После окончания обслуживания один канал освобождается.
		+
		+	Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
		+
		+	Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
		+
		+	Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди '''m'''.
		+
		+	Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
		+
		+	Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
		+	== Граф состояний ==
		+	[[файл:СМО21.JPG]]
		+
		+	Рассмотрим множество состояний системы:
		+
		+	'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
		+
		+	'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
		+
		+	'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
		+
		+	'''…''';
		+
		+	'''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''k'''-каналами;
		+
		+	'''…''';
		+
		+	'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет;
		+
		+	'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
		+
		+	'''…''';
		+
		+	'''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;
		+
		+	'''…''';
		+
		+	'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;
		+	== Система дифференциальных уравнений ==
		+	Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
		+
		+	[[файл:СМО22.JPG]]
		+
		+	Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').
		+
		+	Система уравнений принимает вид:
		+
		+	[[файл:СМО23.JPG]]
		+
		+	Суммируя в системе уравнения с первого до  '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы.
		+
		+	Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''.
		+
		+	[[файл:СМО24.JPG]]
		+
		+	[[файл:СМО25.JPG]]
		+
		+	В результате получаем решение системы:
		+
		+	[[файл:СМО26.JPG]]
		+	== Основные характеристики системы ==
		+	[[файл:СМО27.JPG]]
		+
		+	При '''χ≠1''' получаем
		+
		+	[[файл:СМО28.JPG]]
		+
		+	При '''χ=1''' получаем
		+
		+	[[файл:СМО29.JPG]]
		+	* Заметим, что при '''n=1''' СМО с очередью становится [[Одноканальная СМО с очередью|одноканальной]].
		+	== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
		+	{{Список СМО}}
		+	== Ссылки ==
		+	* Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
		+	* [[Участник:Logic-samara]]
		+	[[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]

---

Текущая версия на 06:12, 17 октября 2020

СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.

Описание модели

На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.

Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.

Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.

После окончания обслуживания один канал освобождается.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.

Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.

Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.

Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

Граф состояний

Рассмотрим множество состояний системы:

S₀ – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

S₁ – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;

S₂ – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;

…;

S_k – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;

…;

S_n – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;

S_n+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

…;

S_n+r – в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;

…;

S_n+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;

Система дифференциальных уравнений

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).

Система уравнений принимает вид:

Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно p₀,p₁,…,p_n+m.

В результате получаем решение системы:

Основные характеристики системы

При χ≠1 получаем

При χ=1 получаем

• Заметим, что при n=1 СМО с очередью становится одноканальной.

Другие СМО:

Ссылки

• Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
• Участник:Logic-samara