Площадь четырёхугольника

Четырёхугольник

Площадь четырёхугольника — это число, характеризующее четырёхтреугольник в единицах измерения площади.

Рассмотрим плоские выпуклые четырёхугольники, т.е. такие, у которых все четыре точки лежат в одной плоскости и для любых его (четырёхугольника) двух точек все точки отрезка принадлежат четырёхугольнику.

• квадрат;
• прямоугольник;
• ромб;
• параллелограмм;
• трапеция;
• равнобедренная трапеция;
• прямоугольная трапеция;
• четырёхугольник.

Введём обозначения:

— радиус-вектор первой точки;

— радиус-вектор второй точки;

— радиус-вектор третьей точки;

— радиус-вектор четвёртой точки;

— нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки;

S_Δ — площадь треугольника, построенного по трём заданным точкам;

S_четыр — площадь четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.

где

Формула Брахмагупты

Рассмотрим четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность и у которых порядок следования вершин 1, 2, 3, 4. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты.

Введём обозначения:

a — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и второй точками;

b — длина стороны четырёхугольника, расположенной между второй и третьей точками;

c — длина стороны четырёхугольника, расположенной между третьей и четвёртой точками;

d — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и четвёртой точками;

p — полупериметр четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.

где

• Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу Герона для площади треугольгника.
• Когда четырёхугольник является прямоугольником и a≠b, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади прямоугольника, S_{прямоуг}=ab, где c=a, d=b, p=a+b.
• Когда четырёхугольник является равнобедренной трапецией и b=d, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади трапеции, S_{равн.трап}=h(a+c)/2, где h²=(p-a)(p-c), p-b=(a+c)/2.

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.167.
• Участник:Logic-samara