Метод касательных
Содержание
Определение
Метод касательных (метод Ньютона) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a,b] на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.
Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.
Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x)≠0 и f"(x)≠0.
Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f"(x)<0.
Условие начальной точки для метода касательных f(x)f"(x)>0.
Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0. Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения
Входные данные: f(x), f’(x), f"(x), a, b, ε.
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Если f(x)=0, то x — точное решение.
Другие методы:
- Деление отрезка пополам;
- Комбинированный метод;
- Метод итераций;
- Метод хорд;
- Универсальный метод итераций.
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона, являющийся обобщением метода касательных.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara