Метод касательных — различия между версиями
Строка 23: | Строка 23: | ||
Если '''f(x)=0''', то '''x''' — точное решение. | Если '''f(x)=0''', то '''x''' — точное решение. | ||
+ | * Заметим, что обобщением '''метода касательных''' является '''[[метод Ньютона]]''', используемый для решения систем нелинейных уравнений. | ||
== Другие методы: == | == Другие методы: == | ||
− | *[[ | + | *[[деление отрезка пополам]]; |
− | *[[ | + | *[[комбинированный метод]]; |
− | *[[ | + | *[[метод итераций]]; |
− | *[[ | + | *[[метод касательных]]; |
− | *[[ | + | *[[метод хорд]]; |
− | * | + | *[[универсальный метод итераций]]. |
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] |
Версия 08:10, 31 января 2016
Метод касательных (метод Ньютона) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Описание метода
Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a,b] (при условии f(a)f(b)<0) на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.
Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.
Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x)≠0 и f"(x)≠0.
Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f"(x)<0.
Условие начальной точки для метода касательных f(x)f"(x)>0.
Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0. Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения
Входные данные: f(x), f’(x), f"(x), a, b, ε.
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Если f(x)=0, то x — точное решение.
- Заметим, что обобщением метода касательных является метод Ньютона, используемый для решения систем нелинейных уравнений.
Другие методы:
- деление отрезка пополам;
- комбинированный метод;
- метод итераций;
- метод касательных;
- метод хорд;
- универсальный метод итераций.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara