Универсальный метод итераций — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
|||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
'''Универсальный [[метод итераций]]''' — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью '''ε''') нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | '''Универсальный [[метод итераций]]''' — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью '''ε''') нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | ||
− | + | == Описание метода == | |
Суть универсального метода итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' (итерациях) по формуле '''x=x-f(x)/M''', которая похожа на формулы [[метод итераций|метода итераций]] и [[метод касательных|метода касательных]] и строится с помощью функции '''f(x)''', где '''M=max{f’(x)'''}. | Суть универсального метода итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' (итерациях) по формуле '''x=x-f(x)/M''', которая похожа на формулы [[метод итераций|метода итераций]] и [[метод касательных|метода касательных]] и строится с помощью функции '''f(x)''', где '''M=max{f’(x)'''}. | ||
Строка 20: | Строка 19: | ||
Далее применяем алгоритм решения. | Далее применяем алгоритм решения. | ||
− | |||
== Алгоритм решения == | == Алгоритм решения == | ||
− | |||
Входные данные: '''f(x), f’(x), a, b, ε'''. | Входные данные: '''f(x), f’(x), a, b, ε'''. | ||
Строка 32: | Строка 29: | ||
Если '''f(x)=0''', то '''x''' - точное решение. | Если '''f(x)=0''', то '''x''' - точное решение. | ||
− | |||
== Другие методы: == | == Другие методы: == | ||
*[[Деление отрезка пополам]]; | *[[Деление отрезка пополам]]; | ||
Строка 39: | Строка 35: | ||
*[[Метод касательных]]; | *[[Метод касательных]]; | ||
*[[Метод хорд]]. | *[[Метод хорд]]. | ||
− | |||
* Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]]. | * Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]]. | ||
− | |||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] |
Версия 19:56, 15 января 2016
Универсальный метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Описание метода
Суть универсального метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x=x-f(x)/M, которая похожа на формулы метода итераций и метода касательных и строится с помощью функции f(x), где M=max{f’(x)}.
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Универсальный метод итераций строит зависимость вида x=φ(x) (как в методе итераций), но не из уравнения f(x)=0, а по универсальной формуле x=x-f(x)/M (как в методе касательных), т.е. φ(x)=x-f(x)/M.
Универсальный метод итераций применим, если функция f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b], а функция f’(x) на отрезке [a,b] везде положительна (0<f’(x)<∞).
Если же функция f’(x) на отрезке [a,b] везде отрицательна (-∞<f’(x)<0), то универсальный метод итераций применим для решения уравнения вида -f(x)=0 (очевидно, что уравнение -f(x)=0 эквивалентно уравнению f(x)=0).
Для решения используются вспомогательные параметры m, M, q и δ, где δ - уточнённая точность. M=max{f’(x)}, m=min{f’(x)}.
Очевидно, что q=max|φ’(x)|=max|1-f’(x)/M|=1-m/M<1, т.е. для функции φ(x)=x-f(x)/M выполняются требования метода итераций.
Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) непрерывна, дифференцируема и меняет знак на отрезке, т.е. f(a)f(b)<0.
Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения
Входные данные: f(x), f’(x), a, b, ε.
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Если f(x)=0, то x - точное решение.
Другие методы:
- Деление отрезка пополам;
- Комбинированный метод;
- Метод итераций;
- Метод касательных;
- Метод хорд.
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara