Предикат — различия между версиями

Версия 11:28, 13 января 2024

Секвенции (латинское sequentia — последовательность, следствие) — это выражения вида A₁, A₂,..., A_m |- B₁, B₂,..., B_n, где |- — знак выводимости, A₁, A₂,..., A_m и B₂,..., B_n — произвольные формулы; первые — образующие антецедент секвенции, вторые — её сукцедент. Такого рода выражения изучаются в теории доказательств. Они оказываются более удобными для анализа синтаксической структуры выводов. Их называют исчислениями генценовского типа (по имени Генцена, который начал их изучать).

Основные правила

Дополнительные правила

Доказательства секвенций

Доказательства некоторых дополнительных правил:

Правило_в

Правило_д

Правило_е

Правило_ж

Правило_з

Правило_и

Правило_к

Правило_л

Правило_м

Правило_н

Правило_о

Правило_п

Другие понятия:

Логический закон;
Логические функции:

Нормальные формы:

Ссылки

Генцен Г. Исследования логических выводов. В кн. Математическая теория логического вывода, М, 1967, с. 9—74.
Участник:Logic-samara

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Предикаты''' — это предложения, высказывания, соотношения, выражения, функции, относительно которых при заданных аргументах, можно сказать, '''истинны''' они или '''ложны''', т.е. они принимают значения из множества '''{0,1}'''.
+'''Секвенции''' (латинское sequentia — последовательность, следствие) — это выражения вида '''A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,..., A<sub>m</sub> |- B<sub>1</sub>, B<sub>2</sub>,..., B<sub>n</sub>''', где '''|-''' — знак выводимости, '''A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>,..., A<sub>m</sub>''' и '''B<sub>2</sub>,..., B<sub>n</sub>''' — произвольные формулы; первые — образующие '''антецедент''' секвенции, вторые — её '''сукцедент'''.
+Такого рода выражения изучаются в теории доказательств.  Они оказываются более удобными для анализа синтаксической структуры выводов. Их называют исчислениями генценовского типа (по имени Генцена, который начал их изучать).
-Предикаты обозначаются прописными буквами с перечнем аргументов в скобках (как у функции).
+== Основные правила ==
-Набор аргументов определяется на произвольных множествах.
+[[файл:СЕК12.JPG]]
-Аргументы обозначаются строчными буквами
+== Дополнительные правила ==
-== Виды предикатов: ==
+[[файл:СЕК13.JPG]]
-* тождественно-истинный;
+[[файл:СЕК14.JPG]]
-* тождественно-ложный;
+== Доказательства секвенций ==
-* выполнимый.
+'''Доказательства некоторых дополнительных правил:'''
+=== '''Правило_в''' ===
-Предикат называют '''тождественно-истинным (тавтологией)''', если на любом наборе аргументов он принимает значение '''1'''.
+[[файл:СЕК30в.JPG]]
+=== '''Правило_д''' ===
-Предикат называют '''тождественно-ложным (противоречием)''', если на любом наборе аргументов он принимает значение '''0'''.
+[[файл:СЕК30д.JPG]]
+=== '''Правило_е''' ===
-Предикат называют '''выполнимым''', если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение '''1'''.
+[[файл:СЕК30е.JPG]]
+=== '''Правило_ж''' ===
-Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все логические операции булевой алгебры.
+[[файл:СЕК30ж.JPG]]
+=== '''Правило_з''' ===
-* [[Логическая функция]] является предикатом.
+[[файл:СЕК30з.JPG]]
-* [[Логический закон]] является тождественно истинным предикатом.
+=== '''Правило_и''' ===
-== Виды операций: ==
+[[файл:СЕК30и.JPG]]
-* логические операции;
+=== '''Правило_к''' ===
-* кванторные операции.
+[[файл:СЕК30к.JPG]]
+=== '''Правило_л''' ===
-=== Логические операции: ===
+[[файл:СЕК30л.JPG]]
-* отрицание;
+=== '''Правило_м''' ===
-* дизъюнкция;
+[[файл:СЕК30м.JPG]]
-* конъюнкция;
+=== '''Правило_н''' ===
-* импликация.
+[[файл:СЕК30н.JPG]]
+=== '''Правило_о''' ===
-'''Отрицанием''' предиката '''A(x)''' называется новый предикат '''C(x)''', который принимает значение '''истина''' при всех значениях '''x''' из заданного множества, при которых предикат '''A(x)''' принимает значение '''ложь''', и принимает значение '''ложь''', если '''A(x)''' принимает значение '''истина'''.
+[[файл:СЕК30о.JPG]]
+=== '''Правило_п''' ===
-'''Дизъюнкцией''' двух предикатов '''A(x)''' и '''B(x)''' называется новый предикат '''C(x)''', который принимает значение '''ложь''' при тех и только тех значениях '''x''' из заданного множества, при которых каждый из предикатов принимает значение '''ложь''' и принимает значение '''истина''' во всех остальных случаях. Областью истинности предиката '''C(x)''' является объединение областей истинности предикатов '''A(x)''' и '''B(x)'''.
+[[файл:СЕК30п.JPG]]
-'''Конъюнкцией ''' двух предикатов '''A(x)''' и '''B(x)''' называется новый предикат '''C(x)''', который принимает значение '''истина''' при тех и только тех значениях '''х''' из заданного множества, при которых каждый из предикатов принимает значение '''истина''', и принимает значение '''ложь''' во всех остальных случаях. Областью истинности предиката '''C(x)''' является пересечение областей истинности предикатов '''A(x)''' и '''B(x)'''.
-'''Импликацией''' предикатов '''A(x)''' и '''B(x)''' называется новый предикат '''C(x)''', который является '''ложным''' при тех и только тех значениях '''х''' из заданного множества, при которых '''A(x)''' принимает значение '''истина''', а '''B(x)''' — значение '''ложь''', и принимает значение '''истина''' во всех остальных случаях.
-=== Кванторные операции: ===
-* квантор общности;
-* квантор существования.
-'''Квантором общности''' называется операция, по которой предикату '''A(x)''' ставится в соответствие высказывание, обозначаемое [[файл:ЛП01.JPG]], которое '''истинно''' тогда и только тогда, когда предикат '''A(x)''' тождественно '''истинен'''.
-Высказывание [[файл:ЛП01.JPG]] читается: «Для любого '''х''' справедливо '''A(x)'''».
-'''Квантором существования''' называется операция, по которой предикату '''A(x)''' ставится в соответствие высказывание, обозначаемое [[файл:ЛП02.JPG]], которое '''ложно''' тогда и только тогда, когда предикат '''A(x)''' тождественно '''ложен'''.
-Высказывание [[файл:ЛП02.JPG]] читается: «Существует такое '''х''' (хотя бы одно), что справедливо '''A(x)'''».
-== Формы предикатов: ==
-*приведённая нормальная форма;
-*предварённая нормальная форма.
-=== Приведённая нормальная форма ===
-[[файл:ПНФ01.JPG]]
-=== Предварённая нормальная форма ===
-[[файл:ПНФ02.JPG]]
-== Свойства предикатов ==
-Если предикат '''A(x)''' определён на множестве, состоящем из конечного числа элементов '''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, …, x<sub>n</sub>''', то '''квантор общности''' можно трактовать как '''конъюнкцию''' всех возможных из него высказываний, а '''квантор существования''' – как '''дизъюнкцию''' этих высказываний.
-[[файл:ЛП10.JPG]]
-Отсюда, применяя отрицание, получаем эквиваленции:
-[[файл:ЛП11.JPG]]
-[[файл:ЛП12.JPG]]
-[[файл:ЛП13.JPG]]
 == [[Логические понятия|Другие понятия:]] ==
-{{Список ЛП}}
+{{Список ЛПон}}
 == Ссылки ==
-* [[Участник:Logic-samara]]
+*Генцен Г. Исследования логических выводов. В кн. Математическая теория логического вывода, М, 1967, с. 9—74.
-[[Категория:Дискретная математика]][[Категория:Логика]]
+*[[Участник:Logic-samara]]
+[[Категория:Математика]][[Категория:Дискретная математика]][[Категория:Логика]]