Площадь четырёхугольника — различия между версиями
| Строка 57: | Строка 57: | ||
* Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в '''формулу Герона'''. | * Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в '''формулу Герона'''. | ||
* Когда четырёхугольник является прямоугольником и '''a≠b''', тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в '''формулу площади прямоугольника, S<sub>прямоуг</sub>=ab''', где '''c=a, d=b, p=a+b'''. | * Когда четырёхугольник является прямоугольником и '''a≠b''', тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в '''формулу площади прямоугольника, S<sub>прямоуг</sub>=ab''', где '''c=a, d=b, p=a+b'''. | ||
| − | * Когда четырёхугольник является равнобедренной [[Площадь трапеции|трапецией]] и '''b=d''', тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в '''формулу площади | + | * Когда четырёхугольник является равнобедренной [[Площадь трапеции|трапецией]] и '''b=d''', тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в '''формулу площади трапеции, S<sub>равн.трап</sub>=h(a+c)/2''', где '''h<sup>2</sup>=(p-a)(p-c), p=b+(a+c)/2'''. |
== Другие многоугольники: == | == Другие многоугольники: == | ||
{{Список ПМУ}} | {{Список ПМУ}} | ||
Версия 11:03, 21 сентября 2016
Площадь четырёхугольника — это число, характеризующее четырёхтреугольник в единицах измерения площади.
Рассмотрим плоские выпуклые четырёхугольники, т.е. такие, у которых все четыре точки лежат в одной плоскости.
Содержание
Виды четырёхугольников:
- квадрат;
- прямоугольник;
- ромб;
- параллелограмм;
- трапеция;
- равнобедренная трапеция;
- прямоугольная трапеция;
- четырёхугольник.
Обозначения
Введём обозначения:
— радиус-вектор первой точки;
— радиус-вектор второй точки;
— радиус-вектор третьей точки;
— радиус-вектор четвёртой точки;
— нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки;
SΔ — площадь треугольника, построенного по трём заданным точкам;
Sчетыр — площадь четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.
Формулы:
где
Формула Брахмагупты
Рассмотрим четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность и у которых порядок следования вершин 1, 2, 3, 4. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты.
Введём обозначения:
a — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и второй точками;
b — длина стороны четырёхугольника, расположенной между второй и третьей точками;
c — длина стороны четырёхугольника, расположенной между третьей и четвёртой точками;
d — длина стороны четырёхугольника, расположенной между первой и четвёртой точками;
p — полупериметр четырёхугольника, построенного по четырём заданным точкам.
где
- Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу Герона.
- Когда четырёхугольник является прямоугольником и a≠b, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади прямоугольника, Sпрямоуг=ab, где c=a, d=b, p=a+b.
- Когда четырёхугольник является равнобедренной трапецией и b=d, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади трапеции, Sравн.трап=h(a+c)/2, где h2=(p-a)(p-c), p=b+(a+c)/2.
Другие многоугольники:
- треугольник;
- четырёхугольник;
- n-угольник.
Ссылки
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.167.
- Участник:Logic-samara
