Метод Ньютона — различия между версиями
Строка 28: | Строка 28: | ||
Выходные данные: '''X<sub>1</sub>'''. | Выходные данные: '''X<sub>1</sub>'''. | ||
* Заметим, что '''метод Ньютона при n=1''', то есть для нелинейного уравнения '''f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>)=0''', становится [[метод касательных|методом касательных]]. | * Заметим, что '''метод Ньютона при n=1''', то есть для нелинейного уравнения '''f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>)=0''', становится [[метод касательных|методом касательных]]. | ||
− | == Методы решения систем | + | == Методы решения систем уравнений: == |
− | *[[Метод Крамера]] | + | *[[Метод Крамера]]; |
− | *[[Метод обратной матрицы]] | + | *[[Метод обратной матрицы]]; |
− | *[[Метод Гаусса]] | + | *[[Метод Гаусса]]; |
− | *[[Метод простых итераций]] | + | *[[Метод простых итераций]]; |
− | *[[Метод Зейделя]] | + | *[[Метод Зейделя]]. |
+ | == Численные методы: == | ||
+ | *[[Деление отрезка пополам|решение уравнений]]; | ||
+ | *[[Метод Крамера|решение систем уравнений]]; | ||
+ | *[[Метод Эйлера|решение дифференциальных уравнений]]; | ||
+ | *[[аппроксимация]]; | ||
+ | *[[интерполяция]]; | ||
+ | *[[численное интегрирование]]; | ||
+ | *[[Метод множителей Лагранжа|нахождение экстремумов]]. | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] |
Версия 07:02, 31 января 2016
Метод Ньютона — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида F(X)=0 с заданной точностью ε.
Содержание
Описание метода
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки X по старой точке.
Для решения методом Ньютона системы n нелинейных уравнений с n неизвестными, то есть системы вида:
где fi(x1,x2,… ,xn) для 1≤i≤n, дважды непрерывно дифференцируема (в некоторой окрестности решения X системы уравнений F(X)=0), сначала находим матрицу из частных производных для системы функций f1(x1,x2,… ,xn), f2(x1,x2,… ,xn), …, fn(x1,x2,… ,xn), которая называется матрицей Якоби:
Затем для k=0 выбираем начальную точку X0 в некоторой окрестности решения X*, причём ΔЯ(X0)≠0, например X0=(1;1;…;1). Далее на (k+1)-шаге вычисляем матрицу Якоби Я(Xk)=F’(Xk), систему функций F(Xk) в точке Xk, и новую точку Xk+1 вычисляем по формуле:
Расстояние между точками определяется по формуле:
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Алгоритм решения
Входные данные: F, Я, ε.
Выходные данные: X1.
- Заметим, что метод Ньютона при n=1, то есть для нелинейного уравнения f1(x1)=0, становится методом касательных.
Методы решения систем уравнений:
Численные методы:
- решение уравнений;
- решение систем уравнений;
- решение дифференциальных уравнений;
- аппроксимация;
- интерполяция;
- численное интегрирование;
- нахождение экстремумов.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara