Численное интегрирование

Материал из ALL
Перейти к: навигация, поиск

Численное интегрирование — это способ вычисления определённого интеграла по формуле.

Численное интегрирование

Описание

Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции.

Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений.

Формула

При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла. ЧИ1.JPG, где

ЧИ2.JPG – квадратурная формула,

xi – некоторые точки отрезка [a,b],

n – число отрезков на [a,b],

f(xi) – значения подынтегральной функции в точках xi,

qi – весовые коэффициенты,

Rn – остаточный член.

Порядок точности формул

  • m=1 для формулы правых прямоугольников
  • m=1 для формулы левых прямоугольников
  • m=2 для формулы прямоугольников
  • m=2 для формулы трапеций
  • m=4 для формулы Симпсона
  • m=4 для формулы трёх восьмых

Правило Рунге

Для оценки точности расчёта интеграла I с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для I2n=Ih/2) на практике можно применять правило Рунге:

ЧИ11.JPG или ЧИ12.JPG, где

In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,

I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),

m – порядок точности квадратурной формулы.

Условие применения правила Рунге строго задаётся для чётного n следующим неравенством:

ЧИ21.JPG или ЧИ22.JPG, где

In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,

I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),

In/2=I2h – значение квадратурной формулы при шаге 2h=(b-a)/(n/2),

m – порядок точности квадратурной формулы.

Формула Ричардсона

Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением интеграла I (по сравнению со значением I2n=Ih/2) является значение I*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:

ЧИ31.JPGили ЧИ32.JPG, где

In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,

I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),

m – порядок точности квадратурной формулы.

Примеры формул:

Другие методы:

Ссылки

  • Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
  • Участник:Logic-samara