СМО с взаимопомощью — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[файл:СМО52.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с взаимопомощью]] | [[файл:СМО52.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с взаимопомощью]] | ||
| − | |||
'''[[СМО с отказами и взаимопомощью|СМО с взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется). | '''[[СМО с отказами и взаимопомощью|СМО с взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется). | ||
| + | == Описание модели == | ||
| + | На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. | ||
| − | + | Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна '''nμ'''. | |
| − | + | ||
| − | Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз. После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно. | + | Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз. |
| + | |||
| + | После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно. | ||
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное. | Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное. | ||
| − | Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые). | + | Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. |
| + | |||
| + | Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые). | ||
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты. | Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты. | ||
| Строка 17: | Строка 21: | ||
Если в системе имеется '''(n+r)'''-заявок ('''r=1,m-1'''), то '''n'''-заявок из них обслуживаются и '''r'''-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди '''m'''. | Если в системе имеется '''(n+r)'''-заявок ('''r=1,m-1'''), то '''n'''-заявок из них обслуживаются и '''r'''-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди '''m'''. | ||
| + | |||
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. | Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. | ||
| − | |||
| + | Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | ||
== Граф состояний == | == Граф состояний == | ||
| − | |||
| − | |||
[[файл:СМО50.JPG]] | [[файл:СМО50.JPG]] | ||
| Строка 45: | Строка 48: | ||
'''…'''; | '''…'''; | ||
| − | '''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''- | + | '''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди; |
'''…'''; | '''…'''; | ||
'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди; | '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди; | ||
| − | |||
== Система дифференциальных уравнений == | == Система дифференциальных уравнений == | ||
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
| Строка 70: | Строка 72: | ||
В результате получаем решение системы: | В результате получаем решение системы: | ||
[[файл:СМО55.JPG]] | [[файл:СМО55.JPG]] | ||
| − | |||
== Основные характеристики системы == | == Основные характеристики системы == | ||
| − | |||
[[файл:СМО56.JPG]] | [[файл:СМО56.JPG]] | ||
| Строка 82: | Строка 82: | ||
[[файл:СМО58.JPG]] | [[файл:СМО58.JPG]] | ||
| − | |||
== Другие СМО: == | == Другие СМО: == | ||
* [[СМО с отказами]]; | * [[СМО с отказами]]; | ||
| Строка 92: | Строка 91: | ||
* [[СМО с бесконечной очередью]]; | * [[СМО с бесконечной очередью]]; | ||
* [[СМО замкнутая без очереди]]. | * [[СМО замкнутая без очереди]]. | ||
| − | |||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | * Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
| − | [[Категория:Случайные процессы]] | + | [[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] |
| − | [[Категория:Логистика]] | + | |
Версия 18:53, 15 января 2016
СМО с взаимопомощью — это система массового обслуживания, в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется).
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна nμ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми n-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в n-раз.
После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное.
Если система обслуживает k-заявок (k=1,n-1), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все (k+1)-заявок обслуживаются n-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием.
Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все n-каналов всё время будут заняты.
Если система обслуживает n-заявок (k=n), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов.
Если в системе имеется (n+r)-заявок (r=1,m-1), то n-заявок из них обслуживаются и r-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется одна заявка, она обслуживается всеми n-каналами;
S2 – в системе имеется две заявки, они обслуживается n-каналами;
…;
Sk – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются n-каналами;
…;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
…;
Sn+r – в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;
…;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При χ≠1 получаем
При χ=1 получаем
Другие СМО:
- СМО с отказами;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО с отказами и взаимопомощью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО замкнутая без очереди.
Ссылки
- Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Участник:Logic-samara
