Метод касательных — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | '''Метод касательных''' ([[метод Ньютона]]) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью '''ε''') нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | |
| − | '''Метод касательных''' ([[метод Ньютона]]) | + | == Описание метода == |
| − | + | Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка '''[a,b]''' (при условии '''f(a)f(b)<0''') на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к '''ε'''-окрестности решения. | |
| − | Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка '''[a,b]''' на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к '''ε'''-окрестности решения. | + | |
Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | ||
| Строка 14: | Строка 13: | ||
Сначала находим отрезок '''[a,b]''' такой, что функция '''f(x)''' дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть '''f(a)f(b)<0'''. | Сначала находим отрезок '''[a,b]''' такой, что функция '''f(x)''' дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть '''f(a)f(b)<0'''. | ||
Далее применяем алгоритм решения. | Далее применяем алгоритм решения. | ||
| − | |||
== Алгоритм решения == | == Алгоритм решения == | ||
| − | |||
Входные данные: '''f(x), f’(x), f"(x), a, b, ε'''. | Входные данные: '''f(x), f’(x), f"(x), a, b, ε'''. | ||
| Строка 25: | Строка 22: | ||
Значение '''x''' является решением с заданной точностью '''ε''' нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | Значение '''x''' является решением с заданной точностью '''ε''' нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | ||
| − | Если '''f(x)=0''', то '''x''' | + | Если '''f(x)=0''', то '''x''' — точное решение. |
| − | + | ||
== Другие методы: == | == Другие методы: == | ||
*[[Деление отрезка пополам]]; | *[[Деление отрезка пополам]]; | ||
| Строка 33: | Строка 29: | ||
*[[Метод хорд]]; | *[[Метод хорд]]; | ||
*[[Универсальный метод итераций]]. | *[[Универсальный метод итераций]]. | ||
| − | |||
* Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]], являющийся обобщением метода касательных. | * Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]], являющийся обобщением метода касательных. | ||
| − | |||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | * Демидович Б. П., Марон И. | + | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. |
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | ||
Версия 19:53, 15 января 2016
Метод касательных (метод Ньютона) — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Описание метода
Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a,b] (при условии f(a)f(b)<0) на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к ε-окрестности решения.
Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.
Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x)=0 на отрезке [a,b], если ни одна точка отрезка [a,b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x)≠0 и f"(x)≠0.
Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f"(x)<0.
Условие начальной точки для метода касательных f(x)f"(x)>0.
Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0. Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения
Входные данные: f(x), f’(x), f"(x), a, b, ε.
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Если f(x)=0, то x — точное решение.
Другие методы:
- Деление отрезка пополам;
- Комбинированный метод;
- Метод итераций;
- Метод хорд;
- Универсальный метод итераций.
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона, являющийся обобщением метода касательных.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
