Площадь четырёхугольника — различия между версиями
м |
|||
(не показано 47 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | '''Площадь четырёхугольника''' — это число | + | [[файл:ЧЕТ01.JPG|thumb|300|Четырёхугольник]] |
+ | '''Площадь четырёхугольника''' — это число, характеризующее четырёхугольник в единицах измерения площади. | ||
− | Рассмотрим плоские выпуклые четырёхугольники, т.е. такие, у которых все четыре точки лежат в одной плоскости. | + | Рассмотрим плоские выпуклые четырёхугольники, т.е. такие, у которых все четыре точки лежат в одной плоскости и для любых его (четырёхугольника) двух точек все точки отрезка принадлежат четырёхугольнику. |
+ | == Виды четырёхугольников: == | ||
+ | * [[Площадь квадрата|квадрат]]; | ||
+ | * [[Площадь прямоугольника|прямоугольник]]; | ||
+ | * [[Площадь ромба|ромб]]; | ||
+ | * [[Площадь параллелограмма|параллелограмм]]; | ||
+ | * [[Площадь трапеции|трапеция]]; | ||
+ | * равнобедренная трапеция; | ||
+ | * прямоугольная трапеция; | ||
+ | * четырёхугольник. | ||
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
+ | Введём обозначения: | ||
+ | |||
+ | '''a''' — первая сторона; | ||
+ | |||
+ | '''b''' — вторая сторона; | ||
+ | |||
+ | '''c''' — третья сторона; | ||
+ | |||
+ | '''d''' — четвёртая сторона; | ||
+ | |||
+ | '''α''' — угол между сторонами '''a''' и '''b'''; | ||
+ | |||
+ | '''β''' — угол между сторонами '''b''' и '''c'''; | ||
+ | |||
+ | '''γ''' — угол между сторонами '''c''' и '''d'''; | ||
+ | |||
+ | '''η''' — угол между сторонами '''a''' и '''d'''; | ||
+ | |||
+ | '''d<sub>1</sub>''' — диагональ, соединяющая вершины углов '''α''' и '''γ'''; | ||
+ | |||
+ | '''d<sub>2</sub>''' — диагональ, соединяющая вершины углов '''β''' и '''η'''; | ||
+ | |||
+ | '''l<sub>1</sub>''' — средняя линия, соединяющая середины сторон '''a''' и '''c'''; | ||
+ | |||
+ | '''l<sub>2</sub>''' — средняя линия, соединяющая середины сторон '''b''' и '''d'''; | ||
+ | |||
+ | '''φ''' — угол (острый) между диагоналями; | ||
+ | |||
+ | '''ψ''' — угол (острый) между средними линиями; | ||
+ | |||
+ | '''p''' — полупериметр четырёхугольника; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>Δ</sub>''' — [[площадь треугольника]]; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>четыр</sub>''' — площадь четырёхугольника. | ||
+ | == Формулы: == | ||
+ | [[файл: ПЧЕ00.JPG]] | ||
+ | === Формулы в векторной и координатной форме === | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
Строка 11: | Строка 59: | ||
[[файл:Век73.JPG]] — радиус-вектор третьей точки; | [[файл:Век73.JPG]] — радиус-вектор третьей точки; | ||
− | [[файл:Век74.JPG]] — радиус-вектор четвёртой точки; | + | [[файл:Век74.JPG]] — радиус-вектор четвёртой точки четырёхугольника, лежащей в плоскости первых трёх точек; |
[[файл:Век99.JPG]] — нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки; | [[файл:Век99.JPG]] — нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки; | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
[[файл:ПЧЕ01.JPG]] | [[файл:ПЧЕ01.JPG]] | ||
Строка 25: | Строка 69: | ||
[[файл:ПЧЕ02.JPG]] | [[файл:ПЧЕ02.JPG]] | ||
=== Формула Брахмагупты === | === Формула Брахмагупты === | ||
− | Рассмотрим четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность и у которых порядок следования вершин '''1, 2, 3, 4'''. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты. | + | Рассмотрим '''четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность''' и у которых порядок следования вершин '''1, 2, 3, 4'''. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты. |
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
− | '''a''' — | + | '''a''' — сторона, расположенная между первой и второй точками; |
− | '''b''' — | + | '''b''' — сторона, расположенная между второй и третьей точками; |
− | '''c''' — | + | '''c''' — сторона, расположенная между третьей и четвёртой точками; |
− | '''d''' — | + | '''d''' — сторона, расположенная между первой и четвёртой точками; |
− | '''p''' — полупериметр четырёхугольника | + | '''p''' — полупериметр четырёхугольника. |
[[файл:ПЧЕ03.JPG]] | [[файл:ПЧЕ03.JPG]] | ||
Строка 44: | Строка 88: | ||
[[файл:ПЧЕ04.JPG]] | [[файл:ПЧЕ04.JPG]] | ||
− | * | + | * Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в [[Площадь треугольника|'''формулу Герона для площади треугольника''']]. |
− | + | * Когда четырёхугольник является прямоугольником и '''a≠b''', тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в [[Площадь прямоугольника|'''формулу площади прямоугольника''']], '''S<sub>прямоуг</sub>=ab''', где '''c=a, d=b, p=a+b'''. | |
− | + | * Когда четырёхугольник является равнобедренной трапецией и '''b=d''', тогда '''формула Брахмагупты''' превращается в [[Площадь трапеции|'''формулу площади трапеции''']], '''S<sub>равн.трап</sub>=h(a+c)/2''', где '''h<sup>2</sup>=(p-a)(p-c), p-b=(a+c)/2'''. | |
− | * [[ | + | == [[Площадь правильного n-угольника|Другие многоугольники:]] == |
− | * [[ | + | {{Список ПМУ}} |
− | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
+ | * Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.167. | ||
+ | * Википедия. Четырёхугольник. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] |
Текущая версия на 12:43, 27 октября 2017
Площадь четырёхугольника — это число, характеризующее четырёхугольник в единицах измерения площади.
Рассмотрим плоские выпуклые четырёхугольники, т.е. такие, у которых все четыре точки лежат в одной плоскости и для любых его (четырёхугольника) двух точек все точки отрезка принадлежат четырёхугольнику.
Содержание
Виды четырёхугольников:
- квадрат;
- прямоугольник;
- ромб;
- параллелограмм;
- трапеция;
- равнобедренная трапеция;
- прямоугольная трапеция;
- четырёхугольник.
Обозначения
Введём обозначения:
a — первая сторона;
b — вторая сторона;
c — третья сторона;
d — четвёртая сторона;
α — угол между сторонами a и b;
β — угол между сторонами b и c;
γ — угол между сторонами c и d;
η — угол между сторонами a и d;
d1 — диагональ, соединяющая вершины углов α и γ;
d2 — диагональ, соединяющая вершины углов β и η;
l1 — средняя линия, соединяющая середины сторон a и c;
l2 — средняя линия, соединяющая середины сторон b и d;
φ — угол (острый) между диагоналями;
ψ — угол (острый) между средними линиями;
p — полупериметр четырёхугольника;
SΔ — площадь треугольника;
Sчетыр — площадь четырёхугольника.
Формулы:
Формулы в векторной и координатной форме
Введём обозначения:
— радиус-вектор третьей точки;
— радиус-вектор четвёртой точки четырёхугольника, лежащей в плоскости первых трёх точек;
— нормаль к плоскости, проходящей через три заданные точки;
где
Формула Брахмагупты
Рассмотрим четырёхугольники, вокруг которых можно описать окружность и у которых порядок следования вершин 1, 2, 3, 4. Для нахождения их площади можно использовать формулу Брахмагупты.
Введём обозначения:
a — сторона, расположенная между первой и второй точками;
b — сторона, расположенная между второй и третьей точками;
c — сторона, расположенная между третьей и четвёртой точками;
d — сторона, расположенная между первой и четвёртой точками;
p — полупериметр четырёхугольника.
где
- Когда одна из сторон четырёхугольника стремится к нулю, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу Герона для площади треугольника.
- Когда четырёхугольник является прямоугольником и a≠b, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади прямоугольника, Sпрямоуг=ab, где c=a, d=b, p=a+b.
- Когда четырёхугольник является равнобедренной трапецией и b=d, тогда формула Брахмагупты превращается в формулу площади трапеции, Sравн.трап=h(a+c)/2, где h2=(p-a)(p-c), p-b=(a+c)/2.
Другие многоугольники:
- треугольник;
- четырёхугольник;
- n-угольник.
Ссылки
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.167.
- Википедия. Четырёхугольник.
- Участник:Logic-samara