Численное интегрирование — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
м |
||
| (не показано 7 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
'''Численное интегрирование''' — это способ вычисления определённого [[интеграл]]а по формуле. | '''Численное интегрирование''' — это способ вычисления определённого [[интеграл]]а по формуле. | ||
| − | + | = Численное интегрирование = | |
| + | == Описание == | ||
Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции. | Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции. | ||
Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений. | Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений. | ||
| − | |||
== Формула == | == Формула == | ||
При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла. | При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла. | ||
| Строка 21: | Строка 20: | ||
'''R<sub>n</sub>''' – остаточный член. | '''R<sub>n</sub>''' – остаточный член. | ||
| − | |||
== Порядок точности формул == | == Порядок точности формул == | ||
* '''m=1''' для формулы правых прямоугольников | * '''m=1''' для формулы правых прямоугольников | ||
| Строка 29: | Строка 27: | ||
* '''m=4''' для формулы Симпсона | * '''m=4''' для формулы Симпсона | ||
* '''m=4''' для формулы трёх восьмых | * '''m=4''' для формулы трёх восьмых | ||
| − | |||
== Правило Рунге == | == Правило Рунге == | ||
Для оценки точности расчёта интеграла '''I''' с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для '''I<sub>2n</sub>=I<sub>h/2</sub>''') на практике можно применять правило Рунге: | Для оценки точности расчёта интеграла '''I''' с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для '''I<sub>2n</sub>=I<sub>h/2</sub>''') на практике можно применять правило Рунге: | ||
| Строка 52: | Строка 49: | ||
'''m''' – порядок точности квадратурной формулы. | '''m''' – порядок точности квадратурной формулы. | ||
| − | |||
== Формула Ричардсона == | == Формула Ричардсона == | ||
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности '''m+1''') значением интеграла '''I''' (по сравнению со значением '''I<sub>2n</sub>=I<sub>h/2</sub>''') является значение '''I*''', вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона: | Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности '''m+1''') значением интеграла '''I''' (по сравнению со значением '''I<sub>2n</sub>=I<sub>h/2</sub>''') является значение '''I*''', вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона: | ||
| Строка 63: | Строка 59: | ||
'''m''' – порядок точности квадратурной формулы. | '''m''' – порядок точности квадратурной формулы. | ||
| − | + | == Примеры формул: == | |
| − | == | + | {{Список ФИН}} |
| − | + | = [[Алгоритмы численных методов|Другие методы:]] = | |
| − | + | {{Список ЧМ}} | |
| − | + | = Ссылки = | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
* Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]] | [[Категория:Численные методы]] | ||
Текущая версия на 13:23, 16 января 2024
Численное интегрирование — это способ вычисления определённого интеграла по формуле.
Содержание
Численное интегрирование
Описание
Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции.
Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений.
Формула
При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла.
, где
– квадратурная формула,
xi – некоторые точки отрезка [a,b],
n – число отрезков на [a,b],
f(xi) – значения подынтегральной функции в точках xi,
qi – весовые коэффициенты,
Rn – остаточный член.
Порядок точности формул
- m=1 для формулы правых прямоугольников
- m=1 для формулы левых прямоугольников
- m=2 для формулы прямоугольников
- m=2 для формулы трапеций
- m=4 для формулы Симпсона
- m=4 для формулы трёх восьмых
Правило Рунге
Для оценки точности расчёта интеграла I с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для I2n=Ih/2) на практике можно применять правило Рунге:
или 
, где
In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,
I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),
m – порядок точности квадратурной формулы.
Условие применения правила Рунге строго задаётся для чётного n следующим неравенством:
или 
, где
In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,
I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),
In/2=I2h – значение квадратурной формулы при шаге 2h=(b-a)/(n/2),
m – порядок точности квадратурной формулы.
Формула Ричардсона
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением интеграла I (по сравнению со значением I2n=Ih/2) является значение I*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:
или 
, где
In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,
I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),
m – порядок точности квадратурной формулы.
Примеры формул:
Другие методы:
- решение уравнений;
- решение систем уравнений;
- ортогонализация;
- решение дифференциальных уравнений;
- аппроксимация;
- интерполяция;
- численное интегрирование;
- нахождение экстремумов.
Ссылки
- Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
