Метод итераций — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
м |
||
| (не показаны 4 промежуточные версии этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | '''[[Универсальный метод итераций|Метод итераций]]''' — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью '''ε''') нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | |
| − | '''[[Универсальный метод итераций|Метод итераций]]''' | + | == Описание метода == |
| − | + | ||
Суть метода итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' (итерациях) по формуле '''x=φ(x)''', которая выводится из уравнения '''f(x)=0'''. | Суть метода итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' (итерациях) по формуле '''x=φ(x)''', которая выводится из уравнения '''f(x)=0'''. | ||
| Строка 8: | Строка 7: | ||
Метод итераций применим, если уравнение вида '''f(x)=0''' сводится к уравнению вида '''x=φ(x)''' такому, что функция '''φ(x)''' непрерывна и дифференцируема на отрезке '''[a,b]''' и '''max|φ’(x)|<1'''. | Метод итераций применим, если уравнение вида '''f(x)=0''' сводится к уравнению вида '''x=φ(x)''' такому, что функция '''φ(x)''' непрерывна и дифференцируема на отрезке '''[a,b]''' и '''max|φ’(x)|<1'''. | ||
| − | Для решения рассчитываются вспомогательные параметры '''q''' и '''δ''', где '''δ''' | + | Для решения рассчитываются вспомогательные параметры '''q''' и '''δ''', где '''δ''' — уточнённая точность. |
Сначала находим отрезок '''[a,b]''' такой, что функция '''f(x)''' непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть '''f(a)f(b)<0'''. | Сначала находим отрезок '''[a,b]''' такой, что функция '''f(x)''' непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть '''f(a)f(b)<0'''. | ||
| Строка 15: | Строка 14: | ||
Далее применяем алгоритм решения. | Далее применяем алгоритм решения. | ||
| − | |||
== Алгоритм решения == | == Алгоритм решения == | ||
| − | |||
Входные данные: '''φ(x), φ’(x), a, b, ε'''. | Входные данные: '''φ(x), φ’(x), a, b, ε'''. | ||
| Строка 26: | Строка 23: | ||
Значение '''x''' является решением с заданной точностью '''ε''' нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | Значение '''x''' является решением с заданной точностью '''ε''' нелинейного уравнения вида '''f(x)=0'''. | ||
| − | Если '''f(x)=0''', то '''x''' | + | Если '''f(x)=0''', то '''x''' — точное решение. |
| − | + | == [[Методы решения нелинейных уравнений|Другие методы:]] == | |
| − | == | + | {{Список МРУ}} |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | * Демидович Б. П., Марон И. | + | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. |
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | ||
Текущая версия на 13:27, 26 мая 2017
Метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Описание метода
Суть метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x=φ(x), которая выводится из уравнения f(x)=0.
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Метод итераций применим, если уравнение вида f(x)=0 сводится к уравнению вида x=φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и max|φ’(x)|<1.
Для решения рассчитываются вспомогательные параметры q и δ, где δ — уточнённая точность.
Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) непрерывна и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b)<0.
Уравнение вида f(x)=0 преобразуем к уравнению вида x=φ(x) такому, что функция φ(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b] и max|φ’(x)|<1.
Далее применяем алгоритм решения.
Алгоритм решения
Входные данные: φ(x), φ’(x), a, b, ε.
Выходные данные: x.
Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.
Если f(x)=0, то x — точное решение.
Другие методы:
- деление отрезка пополам;
- комбинированный метод;
- метод итераций;
- метод касательных;
- метод хорд;
- универсальный метод итераций.
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
