СМО с очередью — различия между версиями
(имя автора стёрто) (Содержимое страницы заменено на «...долбёжки в зад.») |
м (описание правки удалено) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | ... | + | [[файл:СМО22.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с очередью]] |
+ | '''[[СМО с бесконечной очередью|СМО с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить. | ||
+ | == Описание модели == | ||
+ | На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. | ||
+ | |||
+ | Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. | ||
+ | |||
+ | Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из '''n''' каналов. | ||
+ | |||
+ | После окончания обслуживания один канал освобождается. | ||
+ | |||
+ | Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца. | ||
+ | |||
+ | Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания. | ||
+ | |||
+ | Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди '''m'''. | ||
+ | |||
+ | Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. | ||
+ | |||
+ | Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе. | ||
+ | == Граф состояний == | ||
+ | [[файл:СМО21.JPG]] | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим множество состояний системы: | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами; | ||
+ | |||
+ | '''…'''; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''k'''-каналами; | ||
+ | |||
+ | '''…'''; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а одна заявка ожидает в очереди; | ||
+ | |||
+ | '''…'''; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди; | ||
+ | |||
+ | '''…'''; | ||
+ | |||
+ | '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди; | ||
+ | == Система дифференциальных уравнений == | ||
+ | Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид: | ||
+ | |||
+ | [[файл:СМО22.JPG]] | ||
+ | |||
+ | Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞'''). | ||
+ | |||
+ | Система уравнений принимает вид: | ||
+ | |||
+ | [[файл:СМО23.JPG]] | ||
+ | |||
+ | Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы. | ||
+ | |||
+ | Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''. | ||
+ | |||
+ | [[файл:СМО24.JPG]] | ||
+ | |||
+ | [[файл:СМО25.JPG]] | ||
+ | |||
+ | В результате получаем решение системы: | ||
+ | |||
+ | [[файл:СМО26.JPG]] | ||
+ | == Основные характеристики системы == | ||
+ | [[файл:СМО27.JPG]] | ||
+ | |||
+ | При '''χ≠1''' получаем | ||
+ | |||
+ | [[файл:СМО28.JPG]] | ||
+ | |||
+ | При '''χ=1''' получаем | ||
+ | |||
+ | [[файл:СМО29.JPG]] | ||
+ | * Заметим, что при '''n=1''' СМО с очередью становится [[Одноканальная СМО с очередью|одноканальной]]. | ||
+ | == [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] == | ||
+ | {{Список СМО}} | ||
+ | == Ссылки == | ||
+ | * Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969. | ||
+ | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
+ | [[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]] |
Текущая версия на 06:12, 17 октября 2020
СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
Содержание
Описание модели
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ.
Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов.
После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
S2 – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
…;
Sk – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;
…;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
…;
Sn+r – в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а r-заявок ожидают в очереди;
…;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При χ≠1 получаем
При χ=1 получаем
- Заметим, что при n=1 СМО с очередью становится одноканальной.
Другие СМО:
- СМО с отказами;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО с взаимопомощью с очередью;
- СМО с отказами и взаимопомощью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО замкнутая без очереди.
Ссылки
- Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Участник:Logic-samara