Метод Ньютона — различия между версиями
м |
|||
| (не показано 9 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 27: | Строка 27: | ||
Выходные данные: '''X<sub>1</sub>'''. | Выходные данные: '''X<sub>1</sub>'''. | ||
| − | * Заметим, что | + | * Заметим, что '''метод Ньютона при n=1''', то есть для нелинейного уравнения '''f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>)=0''', становится [[метод касательных|методом касательных]]. |
| − | == Методы решения систем линейных уравнений: == | + | == [[Методы решения систем линейных уравнений|Другие методы:]] == |
| − | + | {{Список МРСУ}} | |
| − | + | == Другие системы: == | |
| − | + | {{Список СУ}} | |
| − | + | ||
| − | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
| − | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | + | [[Категория:Математика]] |
| + | [[Категория:Численные методы]] | ||
| + | [[Категория:Алгоритмы]] | ||
Текущая версия на 15:36, 5 февраля 2018
Метод Ньютона — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида F(X)=0 с заданной точностью ε.
Описание метода
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки X по старой точке.
Для решения методом Ньютона системы n нелинейных уравнений с n неизвестными, то есть системы вида:
где fi(x1,x2,… ,xn) для 1≤i≤n, дважды непрерывно дифференцируема (в некоторой окрестности решения X системы уравнений F(X)=0), сначала находим матрицу из частных производных для системы функций f1(x1,x2,… ,xn), f2(x1,x2,… ,xn), …, fn(x1,x2,… ,xn), которая называется матрицей Якоби:
Затем для k=0 выбираем начальную точку X0 в некоторой окрестности решения X*, причём ΔЯ(X0)≠0, например X0=(1;1;…;1). Далее на (k+1)-шаге вычисляем матрицу Якоби Я(Xk)=F’(Xk), систему функций F(Xk) в точке Xk, и новую точку Xk+1 вычисляем по формуле:
Расстояние между точками определяется по формуле:
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Алгоритм решения
Входные данные: F, Я, ε.
Выходные данные: X1.
- Заметим, что метод Ньютона при n=1, то есть для нелинейного уравнения f1(x1)=0, становится методом касательных.
Другие методы:
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Другие системы:
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
