Численное интегрирование — различия между версиями
Строка 66: | Строка 66: | ||
*[[формула трёх восьмых]] (формула кубических парабол). | *[[формула трёх восьмых]] (формула кубических парабол). | ||
== Численные методы: == | == Численные методы: == | ||
− | + | {{Список ЧМ}} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]] | [[Категория:Численные методы]] |
Версия 16:31, 29 июня 2016
Численное интегрирование — это способ вычисления определённого интеграла по формуле.
Содержание
Описание
Суть численного интегрирования состоит в расчёте значения определённого интеграла по взвешенным значениям подынтегральной функции, без использования первообразной функции.
Сила численного интегрирования состоит в возможности оценки значения определённого интеграла путём простых вычислений.
Формула
При численном интегрировании используется общая формула определённого интеграла. , где
xi – некоторые точки отрезка [a,b],
n – число отрезков на [a,b],
f(xi) – значения подынтегральной функции в точках xi,
qi – весовые коэффициенты,
Rn – остаточный член.
Порядок точности формул
- m=1 для формулы правых прямоугольников
- m=1 для формулы левых прямоугольников
- m=2 для формулы прямоугольников
- m=2 для формулы трапеций
- m=4 для формулы Симпсона
- m=4 для формулы трёх восьмых
Правило Рунге
Для оценки точности расчёта интеграла I с помощью квадратурных формул (например, необходимо рассчитать значение интеграла с помощью квадратурной формулы для I2n=Ih/2) на практике можно применять правило Рунге:
In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,
I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),
m – порядок точности квадратурной формулы.
Условие применения правила Рунге строго задаётся для чётного n следующим неравенством:
In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,
I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),
In/2=I2h – значение квадратурной формулы при шаге 2h=(b-a)/(n/2),
m – порядок точности квадратурной формулы.
Формула Ричардсона
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением интеграла I (по сравнению со значением I2n=Ih/2) является значение I*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:
In=Ih – значение квадратурной формулы при шаге h=(b-a)/n,
I2n=Ih/2 – значение квадратурной формулы при шаге h/2=(b-a)/(2n),
m – порядок точности квадратурной формулы.
Виды формул:
- формула правых прямоугольников;
- формула левых прямоугольников;
- формула прямоугольников;
- формула трапеций;
- формула Симпсона (формула парабол);
- формула трёх восьмых (формула кубических парабол).
Численные методы:
- решение уравнений;
- решение систем уравнений;
- ортогонализация;
- решение дифференциальных уравнений;
- аппроксимация;
- интерполяция;
- численное интегрирование;
- нахождение экстремумов.
Ссылки
- Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara