Система счисления — различия между версиями
Материал из ALL
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
'''Система счисления''' — это система записи чисел с помощью цифр, причём положение цифры в числе определяет её вес и численное значение. | '''Система счисления''' — это система записи чисел с помощью цифр, причём положение цифры в числе определяет её вес и численное значение. | ||
| − | Система счисления полностью определяется основанием – числом, которое определяет число цифр (начиная с цифры ноль) в системе и степени которого (начиная с нулевой) определяют веса разрядов чисел. | + | Система счисления полностью определяется основанием – числом, которое определяет число цифр (начиная с цифры ноль) в системе и степени которого (начиная с нулевой) определяют веса разрядов чисел (справа налево). |
| − | + | ||
== Примеры систем счисления: == | == Примеры систем счисления: == | ||
| − | * двоичная; | + | * двоичная (цифры:0-1); |
| − | * троичная; | + | * троичная (цифры:0-2); |
| − | * четверичная; | + | * четверичная (цифры:0-3); |
| − | * пятеричная; | + | * пятеричная (цифры:0-4); |
| − | * восьмеричная; | + | * шестеричная (цифры:0-5); |
| − | * десятичная; | + | * семеричная (цифры:0-6); |
| − | * двенадцатеричная; | + | * восьмеричная (цифры:0-7); |
| − | * шестнадцатеричная. | + | * девятеричная (цифры:0-8); |
| − | + | * десятичная (цифры:0-9); | |
| − | == | + | * одиннадцатеричная (цифры:0-9,A); |
| + | * двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B); | ||
| + | * тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C); | ||
| + | * четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D); | ||
| + | * пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E); | ||
| + | * шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F). | ||
| + | == Алгоритмы перевода чисел: == | ||
| + | * [[Перевод чисел из десятичной системы счисления]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел в десятичную систему счисления]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из троичной системы счисления в девятеричную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из девятеричной системы счисления в троичную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]]; | ||
| + | * [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную]]. | ||
| + | == [[Перевод чисел из десятичной системы счисления]] == | ||
Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание новой системы счисления и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания. | Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание новой системы счисления и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания. | ||
| − | Затем выписываются цифры в новой системе счисления вместо последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. | + | Затем выписываются цифры в новой системе счисления вместо (полученных в десятичной системе счисления) последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. |
| − | Полученное число является записью исходного числа в новой системе счисления. | + | Полученное число является записью исходного числа в новой системе счисления. |
| − | + | === Пример перевода 10→2 === | |
| − | === | + | |
| − | + | ||
[[файл:СС102.JPG]] | [[файл:СС102.JPG]] | ||
1439<sub>10</sub>=10110011111<sub>2</sub> | 1439<sub>10</sub>=10110011111<sub>2</sub> | ||
| − | + | == [[Перевод чисел в десятичную систему счисления]] == | |
| − | == | + | |
| − | [[ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Считается сумма произведений цифр исходной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание системы счисления в степени номер разряда, начиная с нулевого) в исходной системе. | Считается сумма произведений цифр исходной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание системы счисления в степени номер разряда, начиная с нулевого) в исходной системе. | ||
Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления. | Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления. | ||
| − | + | === Пример перевода 2→10 === | |
| − | === | + | |
| − | + | ||
[[файл:СС202.JPG]] | [[файл:СС202.JPG]] | ||
| − | + | == [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]] == | |
| − | == | + | |
| − | [[ | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления. | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления. | ||
=== Таблица пар === | === Таблица пар === | ||
[[файл:ТТ204.JPG]] | [[файл:ТТ204.JPG]] | ||
| − | |||
=== Пример перевода 2→4 === | === Пример перевода 2→4 === | ||
[[файл:СТ204.JPG]] | [[файл:СТ204.JPG]] | ||
| − | + | == [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную]] == | |
| − | == | + | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице триад) цифры восьмеричной системы счисления. |
| − | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки | + | |
=== Таблица триад === | === Таблица триад === | ||
[[файл:ТТ208.JPG]] | [[файл:ТТ208.JPG]] | ||
| − | |||
=== Пример перевода 2→8 === | === Пример перевода 2→8 === | ||
[[файл:СТ208.JPG]] | [[файл:СТ208.JPG]] | ||
| − | + | == [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]] == | |
| − | == | + | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления. |
| − | Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки | + | |
=== Таблица тетрад === | === Таблица тетрад === | ||
[[файл:ТТ216.JPG]] | [[файл:ТТ216.JPG]] | ||
| − | |||
=== Пример перевода 2→16 === | === Пример перевода 2→16 === | ||
[[файл:СТ216.JPG]] | [[файл:СТ216.JPG]] | ||
| − | + | == [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]] == | |
| + | Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). | ||
| + | === Таблица пар === | ||
| + | [[файл:ТТ204.JPG]] | ||
| + | === Пример перевода 4→2 === | ||
| + | [[файл:СТ402.JPG]] | ||
| + | == [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную]] == | ||
| + | Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются). | ||
| + | === Таблица триад === | ||
| + | [[файл:ТТ208.JPG]] | ||
| + | === Пример перевода 8→2 === | ||
| + | [[файл:СТ802.JPG]] | ||
| + | == [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]] == | ||
| + | Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются). | ||
| + | === Таблица тетрад === | ||
| + | [[файл:ТТ216.JPG]] | ||
| + | === Пример перевода 16→2 === | ||
| + | [[файл:СТ162.JPG]] | ||
== Другие алгоритмы: == | == Другие алгоритмы: == | ||
| + | *[[наибольший общий делитель]]; | ||
| + | *[[наименьшее общее кратное]]; | ||
| + | *[[проверка кратности]]; | ||
| + | *[[деление по модулю]]; | ||
| + | *[[получение простых чисел]]; | ||
| + | *[[разложение на множители]]; | ||
*[[составление перестановок]]; | *[[составление перестановок]]; | ||
*[[составление сочетаний]]; | *[[составление сочетаний]]; | ||
| Строка 112: | Строка 94: | ||
*[[сортировка]]; | *[[сортировка]]; | ||
*[[алгоритм определения мест]]; | *[[алгоритм определения мест]]; | ||
| − | *[[ | + | *[[метод математической индукции]]; |
| − | *[[ | + | *[[схема примитивной рекурсии]]; |
| − | *[[ | + | *[[система счисления]]. |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Математика]][[Категория:Алгоритмы]][[Категория:Системы счисления]] | [[Категория:Математика]][[Категория:Алгоритмы]][[Категория:Системы счисления]] | ||
Версия 08:44, 14 января 2016
Система счисления — это система записи чисел с помощью цифр, причём положение цифры в числе определяет её вес и численное значение.
Система счисления полностью определяется основанием – числом, которое определяет число цифр (начиная с цифры ноль) в системе и степени которого (начиная с нулевой) определяют веса разрядов чисел (справа налево).
Содержание
- 1 Примеры систем счисления:
- 2 Алгоритмы перевода чисел:
- 3 Перевод чисел из десятичной системы счисления
- 4 Перевод чисел в десятичную систему счисления
- 5 Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную
- 6 Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную
- 7 Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
- 8 Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную
- 9 Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную
- 10 Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
- 11 Другие алгоритмы:
- 12 Ссылки
Примеры систем счисления:
- двоичная (цифры:0-1);
- троичная (цифры:0-2);
- четверичная (цифры:0-3);
- пятеричная (цифры:0-4);
- шестеричная (цифры:0-5);
- семеричная (цифры:0-6);
- восьмеричная (цифры:0-7);
- девятеричная (цифры:0-8);
- десятичная (цифры:0-9);
- одиннадцатеричная (цифры:0-9,A);
- двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
- тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
- четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
- пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
- шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).
Алгоритмы перевода чисел:
- Перевод чисел из десятичной системы счисления;
- Перевод чисел в десятичную систему счисления;
- Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную;
- Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную;
- Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную;
- Перевод чисел из троичной системы счисления в девятеричную;
- Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную;
- Перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную;
- Перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную;
- Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную;
- Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную;
- Перевод чисел из девятеричной системы счисления в троичную;
- Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную;
- Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную.
Перевод чисел из десятичной системы счисления
Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание новой системы счисления и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания. Затем выписываются цифры в новой системе счисления вместо (полученных в десятичной системе счисления) последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке. Полученное число является записью исходного числа в новой системе счисления.
Пример перевода 10→2
143910=101100111112
Перевод чисел в десятичную систему счисления
Считается сумма произведений цифр исходной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание системы счисления в степени номер разряда, начиная с нулевого) в исходной системе. Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.
Пример перевода 2→10
Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления.
Таблица пар
Пример перевода 2→4
Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице триад) цифры восьмеричной системы счисления.
Таблица триад
Пример перевода 2→8
Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления.
Таблица тетрад
Пример перевода 2→16
Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную
Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается).
Таблица пар
Пример перевода 4→2
Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную
Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются).
Таблица триад
Пример перевода 8→2
Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются).
Таблица тетрад
Пример перевода 16→2
Другие алгоритмы:
- наибольший общий делитель;
- наименьшее общее кратное;
- проверка кратности;
- деление по модулю;
- получение простых чисел;
- разложение на множители;
- составление перестановок;
- составление сочетаний;
- составление размещений;
- составление разбиений;
- сортировка;
- алгоритм определения мест;
- метод математической индукции;
- схема примитивной рекурсии;
- система счисления.
