Метод Грама-Шмидта — различия между версиями

Материал из ALL
Перейти к: навигация, поиск
(Восстановление статей Logic-samara)
 
м
 
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
+
'''Метод Грама-Шмидта''' — это способ ортогонализации системы линейно-независимых [[вектор]]ов.
'''Метод Грама-Шмидта''' — это способ ортогонализации системы линейно-независимых векторов.
+
= Метод Грама-Шмидта =
 
+
== Описание метода ==
 
Суть метода Грама-Шмидта состоит во взятии первого ортогонального вектора равным первому исходному вектору и построении каждого нового ортогонального вектора равным текущему исходному вектору, скорректированному на величины проекций текущего вектора на предыдущие ортогональные векторы.
 
Суть метода Грама-Шмидта состоит во взятии первого ортогонального вектора равным первому исходному вектору и построении каждого нового ортогонального вектора равным текущему исходному вектору, скорректированному на величины проекций текущего вектора на предыдущие ортогональные векторы.
  
Строка 7: Строка 7:
  
 
[[файл:МГШ01.JPG]]
 
[[файл:МГШ01.JPG]]
 
 
== Алгоритм решения ==
 
== Алгоритм решения ==
 
 
Основные формулы в векторном виде.
 
Основные формулы в векторном виде.
  
Строка 35: Строка 33:
  
 
[[файл:МГШ12.JPG]]
 
[[файл:МГШ12.JPG]]
 
 
== Пример решения ==
 
== Пример решения ==
 
 
Дана система векторов:
 
Дана система векторов:
  
Строка 54: Строка 50:
 
[[файл:МГШ31.JPG]]
 
[[файл:МГШ31.JPG]]
  
Ортогонализируем систему векторов умножением матриц.
+
Ортогонализируем систему [[вектор]]ов умножением матриц.
  
 
[[файл:МГШ32.JPG]]
 
[[файл:МГШ32.JPG]]
 
+
== Другие операции: ==
 +
{{Список ОВЕ}}
 +
= [[Алгоритмы численных методов|Другие методы:]] =
 +
{{Список ЧМ}}
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
* Р. Беллман. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976.
+
* Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976, стр. 65.
 
* [[Участник:Logic-samara]]
 
* [[Участник:Logic-samara]]
 
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Численные методы линейной алгебры]][[Категория:Алгоритмы]]
 
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Численные методы линейной алгебры]][[Категория:Алгоритмы]]

Текущая версия на 13:29, 16 января 2024

Метод Грама-Шмидта — это способ ортогонализации системы линейно-независимых векторов.

Метод Грама-Шмидта

Описание метода

Суть метода Грама-Шмидта состоит во взятии первого ортогонального вектора равным первому исходному вектору и построении каждого нового ортогонального вектора равным текущему исходному вектору, скорректированному на величины проекций текущего вектора на предыдущие ортогональные векторы.

Исходная система линейно-независимых векторов имеет вид:

МГШ01.JPG

Алгоритм решения

Основные формулы в векторном виде.

МГШ02.JPG

Основные формулы в координатном виде.

МГШ03.JPG

Система ортогональных векторов принимает вид:

МГШ04.JPG

Процесс ортогонализации можно выразить в матричном виде.

Для этого проведём подготовительные расчёты.

МГШ11.JPG

где верны равенства:

МГШ13.JPG

Процесс ортогонализации превращается в обычное умножение матриц.

МГШ12.JPG

Пример решения

Дана система векторов:

МГШ21.JPG

Ортогонализируем систему векторов методом Грама-Шмидта.

МГШ22.JPG

В результате получаем ортогональную систему векторов:

МГШ23.JPG

Для решения с помощью матриц проведём подготовительные расчёты.

МГШ31.JPG

Ортогонализируем систему векторов умножением матриц.

МГШ32.JPG

Другие операции:

Другие методы:

Ссылки