Предикат — различия между версиями
м |
|||
(не показано 6 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 5: | Строка 5: | ||
Аргументы обозначаются строчными буквами | Аргументы обозначаются строчными буквами | ||
== Виды предикатов: == | == Виды предикатов: == | ||
− | * тождественно-истинный; | + | *тождественно-истинный; |
− | * тождественно-ложный; | + | *тождественно-ложный; |
− | * выполнимый. | + | *выполнимый. |
Предикат называют '''тождественно-истинным (тавтологией)''', если на любом наборе аргументов он принимает значение '''1'''. | Предикат называют '''тождественно-истинным (тавтологией)''', если на любом наборе аргументов он принимает значение '''1'''. | ||
Строка 17: | Строка 17: | ||
Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все логические операции булевой алгебры. | Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все логические операции булевой алгебры. | ||
− | * [[Логическая функция]] является предикатом. | + | *[[Логическая функция]] является предикатом. |
− | * [[Логический закон]] является тождественно истинным предикатом. | + | *[[Логический закон]] является тождественно истинным предикатом. |
== Виды операций: == | == Виды операций: == | ||
− | * логические операции; | + | *логические операции; |
− | * кванторные операции. | + | *кванторные операции. |
− | + | ||
=== Логические операции: === | === Логические операции: === | ||
* отрицание; | * отрицание; | ||
Строка 37: | Строка 36: | ||
'''Импликацией''' предикатов '''A(x)''' и '''B(x)''' называется новый предикат '''C(x)''', который является '''ложным''' при тех и только тех значениях '''х''' из заданного множества, при которых '''A(x)''' принимает значение '''истина''', а '''B(x)''' — значение '''ложь''', и принимает значение '''истина''' во всех остальных случаях. | '''Импликацией''' предикатов '''A(x)''' и '''B(x)''' называется новый предикат '''C(x)''', который является '''ложным''' при тех и только тех значениях '''х''' из заданного множества, при которых '''A(x)''' принимает значение '''истина''', а '''B(x)''' — значение '''ложь''', и принимает значение '''истина''' во всех остальных случаях. | ||
=== Кванторные операции: === | === Кванторные операции: === | ||
− | * квантор общности; | + | *квантор общности; |
− | * квантор существования. | + | *квантор существования. |
'''Квантором общности''' называется операция, по которой предикату '''A(x)''' ставится в соответствие высказывание, обозначаемое [[файл:ЛП01.JPG]], которое '''истинно''' тогда и только тогда, когда предикат '''A(x)''' тождественно '''истинен'''. | '''Квантором общности''' называется операция, по которой предикату '''A(x)''' ставится в соответствие высказывание, обозначаемое [[файл:ЛП01.JPG]], которое '''истинно''' тогда и только тогда, когда предикат '''A(x)''' тождественно '''истинен'''. | ||
Строка 66: | Строка 65: | ||
[[файл:ЛП13.JPG]] | [[файл:ЛП13.JPG]] | ||
− | == Другие понятия: == | + | == [[Логические понятия|Другие понятия:]] == |
− | + | {{Список ЛПон}} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
− | * [[Участник:Logic-samara]] | + | *[[Участник:Logic-samara]] |
− | [[Категория:Дискретная математика]][[Категория:Логика]] | + | [[Категория:Математика]][[Категория:Дискретная математика]][[Категория:Логика]] |
Текущая версия на 11:43, 13 января 2024
Предикаты — это предложения, высказывания, соотношения, выражения, функции, относительно которых при заданных аргументах, можно сказать, истинны они или ложны, т.е. они принимают значения из множества {0,1}.
Предикаты обозначаются прописными буквами с перечнем аргументов в скобках (как у функции). Набор аргументов определяется на произвольных множествах. Аргументы обозначаются строчными буквами
Содержание
Виды предикатов:
- тождественно-истинный;
- тождественно-ложный;
- выполнимый.
Предикат называют тождественно-истинным (тавтологией), если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.
Предикат называют тождественно-ложным (противоречием), если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.
Предикат называют выполнимым, если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.
Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все логические операции булевой алгебры.
- Логическая функция является предикатом.
- Логический закон является тождественно истинным предикатом.
Виды операций:
- логические операции;
- кванторные операции.
Логические операции:
- отрицание;
- дизъюнкция;
- конъюнкция;
- импликация.
Отрицанием предиката A(x) называется новый предикат C(x), который принимает значение истина при всех значениях x из заданного множества, при которых предикат A(x) принимает значение ложь, и принимает значение ложь, если A(x) принимает значение истина.
Дизъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат C(x), который принимает значение ложь при тех и только тех значениях x из заданного множества, при которых каждый из предикатов принимает значение ложь и принимает значение истина во всех остальных случаях. Областью истинности предиката C(x) является объединение областей истинности предикатов A(x) и B(x).
Конъюнкцией двух предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат C(x), который принимает значение истина при тех и только тех значениях х из заданного множества, при которых каждый из предикатов принимает значение истина, и принимает значение ложь во всех остальных случаях. Областью истинности предиката C(x) является пересечение областей истинности предикатов A(x) и B(x).
Импликацией предикатов A(x) и B(x) называется новый предикат C(x), который является ложным при тех и только тех значениях х из заданного множества, при которых A(x) принимает значение истина, а B(x) — значение ложь, и принимает значение истина во всех остальных случаях.
Кванторные операции:
- квантор общности;
- квантор существования.
Квантором общности называется операция, по которой предикату A(x) ставится в соответствие высказывание, обозначаемое , которое истинно тогда и только тогда, когда предикат A(x) тождественно истинен.
Высказывание читается: «Для любого х справедливо A(x)».
Квантором существования называется операция, по которой предикату A(x) ставится в соответствие высказывание, обозначаемое , которое ложно тогда и только тогда, когда предикат A(x) тождественно ложен.
Высказывание читается: «Существует такое х (хотя бы одно), что справедливо A(x)».
Формы предикатов:
- приведённая нормальная форма;
- предварённая нормальная форма.
Приведённая нормальная форма
Предварённая нормальная форма
Свойства предикатов
Если предикат A(x) определён на множестве, состоящем из конечного числа элементов x1, x2, …, xn, то квантор общности можно трактовать как конъюнкцию всех возможных из него высказываний, а квантор существования – как дизъюнкцию этих высказываний.
Отсюда, применяя отрицание, получаем эквиваленции:
Другие понятия:
- отрицание;
- дизъюнкция;
- конъюнкция;
- разделительная дизъюнкция;
- импликация;
- обратная импликация;
- эквиваленция;
- стрелка Пирса;
- штрих Шеффера;
- полином Жегалкина;
- Нормальные формы:
- совершенная дизъюнктивная нормальная форма;
- совершенная конъюнктивная нормальная форма;
- минимальная дизъюнктивная нормальная форма;
- минимальная конъюнктивная нормальная форма;
- алгебраическая нормальная форма;
- Таблица истинности;
- Карта Карно;
- Трёхмерная карта Карно;
- Предикат;
- Секвенции;
- Суждение;
- Умозаключения: