Универсальный метод итераций — различия между версиями

Версия 19:56, 15 января 2016

Универсальный метод итераций — это численный метод нахождения (одного) решения (с заданной точностью ε) нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Описание метода

Суть универсального метода итераций состоит в расчётах новой точки x (итерациях) по формуле x=x-f(x)/M, которая похожа на формулы метода итераций и метода касательных и строится с помощью функции f(x), где M=max{f’(x)}.

Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.

Универсальный метод итераций строит зависимость вида x=φ(x) (как в методе итераций), но не из уравнения f(x)=0, а по универсальной формуле x=x-f(x)/M (как в методе касательных), т.е. φ(x)=x-f(x)/M.

Универсальный метод итераций применим, если функция f(x) непрерывна и дифференцируема на отрезке [a,b], а функция f’(x) на отрезке [a,b] везде положительна (0<f’(x)<∞).

Если же функция f’(x) на отрезке [a,b] везде отрицательна (-∞<f’(x)<0), то универсальный метод итераций применим для решения уравнения вида -f(x)=0 (очевидно, что уравнение -f(x)=0 эквивалентно уравнению f(x)=0).

Для решения используются вспомогательные параметры m, M, q и δ, где δ - уточнённая точность. M=max{f’(x)}, m=min{f’(x)}.

Очевидно, что q=max|φ’(x)|=max|1-f’(x)/M|=1-m/M<1, т.е. для функции φ(x)=x-f(x)/M выполняются требования метода итераций.

Сначала находим отрезок [a,b] такой, что функция f(x) непрерывна, дифференцируема и меняет знак на отрезке, т.е. f(a)f(b)<0.

Далее применяем алгоритм решения.

Алгоритм решения

Входные данные: f(x), f’(x), a, b, ε.

Выходные данные: x.

Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x)=0.

Если f(x)=0, то x - точное решение.

Другие методы:

• Деление отрезка пополам;
• Комбинированный метод;
• Метод итераций;
• Метод касательных;
• Метод хорд.
• Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.

Ссылки

• Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
• Участник:Logic-samara