Матричная игра — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
[[файл:ИГР01.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] МИ1]] | [[файл:ИГР01.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] МИ1]] | ||
[[файл:ИГР02.JPG|thumb|300|Математическая модель МИ2]] | [[файл:ИГР02.JPG|thumb|300|Математическая модель МИ2]] | ||
| − | |||
'''Матричная игра''' — это задача теории игр — парная игра с нулевой суммой, в которой каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. | '''Матричная игра''' — это задача теории игр — парная игра с нулевой суммой, в которой каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. | ||
| − | + | == Определения == | |
Игра называется парной, если в ней сталкиваются интересы двух противников. | Игра называется парной, если в ней сталкиваются интересы двух противников. | ||
| Строка 11: | Строка 10: | ||
Смешанной стратегией игрока называется набор чистых стратегий, задаваемый вероятностями (относительными частотами) выбора соответствующих чистых стратегий. | Смешанной стратегией игрока называется набор чистых стратегий, задаваемый вероятностями (относительными частотами) выбора соответствующих чистых стратегий. | ||
| − | |||
== Постановка задачи == | == Постановка задачи == | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| Строка 32: | Строка 30: | ||
'''U(Q,u)=u''' — проигрыш второго игрока. | '''U(Q,u)=u''' — проигрыш второго игрока. | ||
| − | |||
=== Задача первого игрока === | === Задача первого игрока === | ||
Задача первого игрока выбрать смешанную стратегию максимизирующую выигрыш. | Задача первого игрока выбрать смешанную стратегию максимизирующую выигрыш. | ||
[[файл:ИГР01.JPG]] | [[файл:ИГР01.JPG]] | ||
| − | |||
=== Задача второго игрока === | === Задача второго игрока === | ||
Задача второго игрока выбрать смешанную стратегию минимизирующую проигрыш. | Задача второго игрока выбрать смешанную стратегию минимизирующую проигрыш. | ||
[[файл:ИГР02.JPG]] | [[файл:ИГР02.JPG]] | ||
| − | |||
== Эквивалентная задача == | == Эквивалентная задача == | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| Строка 53: | Строка 48: | ||
'''x<sub>j</sub>=q<sub>j</sub>/u''' — относительная величина выбора вторым игроком '''j'''-ой стратегии. | '''x<sub>j</sub>=q<sub>j</sub>/u''' — относительная величина выбора вторым игроком '''j'''-ой стратегии. | ||
| − | |||
=== Эквивалентная задача первого игрока === | === Эквивалентная задача первого игрока === | ||
Задача первого игрока минимизировать обратную величину своего выигрыша. | Задача первого игрока минимизировать обратную величину своего выигрыша. | ||
[[файл:ИГР11.JPG]] | [[файл:ИГР11.JPG]] | ||
| − | |||
=== Эквивалентная задача второго игрока === | === Эквивалентная задача второго игрока === | ||
Задача второго игрока максимизировать обратную величину своего проигрыша. | Задача второго игрока максимизировать обратную величину своего проигрыша. | ||
| Строка 65: | Строка 58: | ||
Эквивалентные задачи являются парой двойственных задач линейного программирования. | Эквивалентные задачи являются парой двойственных задач линейного программирования. | ||
| − | |||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В.И.Ермакова. М.: Высшая школа, 1987. | * Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В.И.Ермакова. М.: Высшая школа, 1987. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Теория игр]][[Категория:Линейное программирование]] | [[Категория:Теория игр]][[Категория:Линейное программирование]] | ||
Версия 16:46, 15 января 2016
Матричная игра — это задача теории игр — парная игра с нулевой суммой, в которой каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий.
Содержание
Определения
Игра называется парной, если в ней сталкиваются интересы двух противников.
Игра называется с нулевой суммой, если один игрок выигрывает столько, сколько второй проигрывает в той же партии.
Каждая фиксированная стратегия, которую может выбрать игрок, называется его чистой стратегией.
Смешанной стратегией игрока называется набор чистых стратегий, задаваемый вероятностями (относительными частотами) выбора соответствующих чистых стратегий.
Постановка задачи
Введём обозначения:
m — число стратегий первого игрока;
n — число стратегий второго игрока.
aij — элемент платёжной матрицы A – выигрыш первого игрока (соответственно, проигрыш второго игрока), если первый игрок выберет i-ую стратегию, а второй игрок – j-ую стратегию;
pi — вероятность (относительная частота) выбора первым игроком i-ой стратегии;
qj — вероятность (относительная частота) выбора вторым игроком – j-ой стратегии;
P=(p1, p2, …, pm) — смешанная стратегия первого игрока;
Q=(q1, q2, …, qn) — смешанная стратегия второго игрока;
V(P,v)=v — выигрыш первого игрока;
U(Q,u)=u — проигрыш второго игрока.
Задача первого игрока
Задача первого игрока выбрать смешанную стратегию максимизирующую выигрыш.
Задача второго игрока
Задача второго игрока выбрать смешанную стратегию минимизирующую проигрыш.
Эквивалентная задача
Введём обозначения:
D(Y)=1/v — обратная величина выигрыша первого игрока;
L(X)=1/u — обратная величина проигрыша второго игрока.
yi=pi/v — относительная величина выбора первым игроком i-ой стратегии;
xj=qj/u — относительная величина выбора вторым игроком j-ой стратегии.
Эквивалентная задача первого игрока
Задача первого игрока минимизировать обратную величину своего выигрыша.
Эквивалентная задача второго игрока
Задача второго игрока максимизировать обратную величину своего проигрыша.
Эквивалентные задачи являются парой двойственных задач линейного программирования.
Ссылки
- Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В.И.Ермакова. М.: Высшая школа, 1987.
- Участник:Logic-samara
