Длина дуги кардиоиды — различия между версиями

Версия 09:36, 12 июня 2016

Длина дуги кардиоиды — это число, характеризующее протяжённость дуги кардиоиды в единицах измерения длины.

Кардиоида — это линия, описываемая точкой окружности, когда последняя катится без скольжения по окружности того же радиуса.

Катящаяся окружность называется производящей.

Рассмотрим дуги кардиоиды при -π≤φ≤π.

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

φ₁ — угол (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

φ₂ — угол (больший) второй точки дуги;

R — радиус производящей окружности;

φ — независимая переменная;

r=2Rcosφ+2R — уравнение кардиоиды в полярных координатах;

t — параметрическая переменная;

x=2Rcost+2Rcos²t — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;

y=2Rsint+2Rsintcost — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;

L_{дуг.кар} — длина дуги кардиоиды.

Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в полярных координатах.

@@ Строка 26: / Строка 26: @@
 '''r=2Rcosφ+2R''' — уравнение кардиоиды в полярных координатах;
+'''t''' — параметрическая переменная;
+'''x=2Rcost+2Rcos<sup>2</sup>t''' — параметрическое уравнение абсциссы циклоиды;
+'''y=2Rsint+2Rsintcost''' — параметрическое уравнение ординаты циклоиды;
 '''L<sub>дуг.кар</sub>''' — длина дуги кардиоиды.