6779 байтов добавлено,
15:06, 15 ноября 2015 [[файл:СМО62.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с отказами и взаимопомощью]]
== Определение ==
'''[[СМО с отказами]] и [[СМО с взаимопомощью|взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется).
== Постановка задачи ==
На вход '''n'''-канальной СМО поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна '''nμ'''.
Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз. После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное.
Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).
Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты.
Если система обслуживает '''n'''-заявок ('''k=n'''), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
Граф состояний имеет вид:
[[файл:СМО61.JPG]]
Рассмотрим множество состояний системы:
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается всеми '''n'''-каналами;
'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживаются '''n'''-каналами;
'''…''';
'''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами;
'''…''';
'''S<sub>n-1</sub>''' – в системе имеется '''(n-1)'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами;
'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами.
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
[[файл:СМО62.JPG]]
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').
Система уравнений принимает вид:
[[файл:СМО63.JPG]]
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n'''), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n</sub>'''.
[[файл:СМО64.JPG]]
В результате получаем решение системы:
[[файл:СМО65.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО66.JPG]]
При '''χ≠1''' получаем
[[файл:СМО67.JPG]]
При '''χ=1''' получаем
[[файл:СМО68.JPG]]
== Другие СМО: ==
* [[СМО с отказами]];
* [[СМО с очередью]];
* [[СМО с ограниченным временем ожидания]];
* [[СМО замкнутая]] с очередью;
* [[СМО с взаимопомощью]] с очередью;
* [[СМО с бесконечным числом каналов]];
* [[СМО с бесконечной очередью]];
* [[СМО замкнутая без очереди]].
== Ссылки ==
* Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
* [[Участник:Logic-samara]]
[[Категория:Случайные процессы]]
[[Категория:Логистика]]