Ряд Фурье

Ряд Фурье — это тригонометрический ряд (являющийся разложением функции f(x) на интервале [-l,l]), в котором слагаемыми служат функции a_ncos(c_nx) и b_nsin(c_nx), а коэффициенты a_n, b_n, c_n=πn/l — это числа.

• Периодическая функция f(x) имеет дискретный спектр, т.е. она может быть представлена в виде отдельных гармоник с частотами πn/l.

Формулы:

Разложение функции f(x) на интервале [-l,l]:

Разложение функции f(x) на интервале [-π, π]:

Разложение чётной функции f_чёт(x) на интервале [-l,l]:

Разложение нечётной функции f_нечёт(x) на интервале [-l,l]:

Разложение чётной функции f_чёт(x) на интервале [-π, π]:

Разложение нечётной функции f_нечёт(x) на интервале [-π, π]:

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0,l]:

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0,l]:

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0,π]:

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0,π]:

Пример

Разложение функции f(x)=e^x на интервале [-π, π].

Сначала находим коэффициенты:

Окончательно, получаем разложение Фурье:

Другие ряды:

• Ряд Маклорена;
• Ряд Тейлора;
• Ряд Тейлора комплексный;
• Ряд Лорана;
• Ряд Фурье;
• Ряд Фурье комплексный.

Ссылки

• Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. М.: Наука, 1973.
• Участник:Logic-samara