Длина дуги винтовой линии

Длина дуги винтовой линии — это число, характеризующее протяжённость дуги винтовой линии в единицах измерения длины.

Винтовая линия — это пространственная линия, описываемая точкой, исходящей из начальной точки цилиндрической поверхности, при движении точки по цилиндрической поверхности в направлении против часовой стрелки.

Рассмотрим дуги винтовой линии, исходящей из точки (a,0,0).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

z₁ — аппликата первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

z₂ — аппликата второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

a — радиус цилиндрической поверхности;

2πb — шаг винтовой линии;

M=(x,y,z) — точка винтовой линии;

M₀=(a,0,0) — начальная точка винтовой линии;

t — параметрическая переменная;

x=acost — параметрическое уравнение абсциссы винтовой линии;

y=asint — параметрическое уравнение ординаты винтовой линии;

z=bt — параметрическое уравнение аппликаты винтовой линии;

L_{дуг.винт.лин} — длина дуги винтовой линии.

Формула

• Заметим, что длина одного витка винтовой линии равна L_{1вит.винт.лин}=2π(a²+b²)^0,5.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула "длина дуги трёхмерной кривой" в параметрической форме.

Ссылки

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.511.
• Участник:Logic-samara