Симплекс-метод

Математическая модель КЗ

Симплекс-метод — это метод для решения задач линейного программирования.

Описание метода

Суть симплекс-метода состоит в переходе от одной угловой точки (одного базиса) многогранника допустимых решений к другой (другому базису) с целью оптимизации целевой функции. При этом симплекс-таблица в каждом базисе новая. Целевая функция соответствует гиперплоскости (в заданном базисе), которая проходит через угловую точку. Оценки оптимальности соответствуют отклонениям относительно гиперплоскости. Когда все оценки оптимальности положительны, тогда целевая функция достигает максимума, когда все оценки оптимальности отрицательны, тогда целевая функция достигает минимума.

Каноническая задача

Математическая модель канонической задачи имеет следующий вид:

или

В каждой угловой точке многогранника допустимых решений число базисных элементов совпадает с числом (независимых) уравнений. Симплекс-таблица для базисных элементов имеет единичные вектор-столбцы.

Расширенная матрица

Для построения симплекс-таблицы, необходимо выбрать базисные элементы, построить из базисных вектор-столбцов матрицы коэффициентов A базисную матрицу B. Затем рассчитать матрицу коэффициентов A’ по формулам и построить расширенную матрицу.

.

Расширенная матрица исходной симплекс-таблицы имеет вид:

Симплекс-таблица

Исходная симплекс-таблица имеет вид:

Формулы выбора переменных для ввода в базис и для вывода из базиса

В случае когда Δ=0, опорное решение X - оптимальное и завершение итераций, иначе строится новая симплекс-таблица с новым опорным решением.

Формулы перехода к новой симплекс-таблице имеют вид:

Расширенная матрица новой симплекс-таблицы имеет вид:

Новая симплекс-таблица имеет вид:

Далее переходят к выбору новых переменных для ввода в базис и для вывода из базиса.

• Заметим, что при решении задачи максимизации при выборе новой переменной выбирают минимальную оценку Δ_j, чтобы избавиться от всех отрицательных оценок Δ_j. При решении задачи минимизации при выборе новой переменной надо выбирать максимальную оценку Δ_j, чтобы избавиться от всех положительных оценок Δ_j. Оценки Δ_j называются критериями оптимальности.

Другие методы:

• симплекс-метод;
• метод искусственного базиса;
• М-метод.

Ссылки

• Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. Линейное программирование., М.,1963.
• Участник:Logic-samara