Длина дуги эвольвенты

Эвольвента окружности

Длина дуги эвольвенты — это число, характеризующее протяжённость дуги эвольвенты в единицах измерения длины.

Эвольвента окружности — это линия, исходящая из начальной точки M₀ на окружности, описываемая точкой M (против часовой стрелки), лежащей (справа) на касательной к окружности в точке L и отстоящей от этой точки L на длину дуги окружности M₀L от начальной точки до этой точки.

Рассмотрим дуги эвольвенты окружности, исходящей из точки (R,0).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр первой точки дуги;

x₂ — абсцисса (большая) второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр второй точки дуги;

R — радиус окружности;

M=(x,y) — точка эвольвенты;

L — точка окружности;

M₀=(R,0) — начальная точка эвольвенты;

t — параметрическая переменная;

x=R(cost+tsint) — параметрическое уравнение абсциссы эвольвенты окружности;

y= R(sint-tcost) — параметрическое уравнение ординаты эвольвенты окружности;

L_{дуг.эвол} — длина дуги эвольвенты окружности.

Формула

• Заметим, что длина дуги эвольвенты окружности M₀M от начальной точки равна L_t=Rt²/2.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" для функции, заданной параметрически, причём 0<t₁<t₂.

Другие кривые:

• плоская кривая;
• окружность;
• парабола;
• эллипс;
• гипербола;
• синусоида;
• косинусоида;
• циклоида;
• кардиоида;
• астроида;
• эпициклоида;
• гипоциклоида;
• эвольвента;
• цепная линия;
• трактриса;
• лемниската Бернулли.

Ссылки

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.783.
• Участник:Logic-samara