Комбинаторика

Определение

Комбинаторика — это раздел математики, в котором изучаются некоторые операции над конечными множествами.

Основные операции:

• составление перестановок;
• составление сочетаний;
• составление размещений;
• составление разбиений.

Составление перестановок - это образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определённого порядка следования элементов множества друг за другом.

Составление сочетаний - это образование подмножеств, состоящее в выделении из данного множества некоторой части его элементов.

Составление размещений - это образование упорядоченных подмножеств.

Составление разбиений - это разложение натурального числа на натуральные слагаемые, сумма которых равна самому числу.

Установленный в конечном множестве порядок расположения его элементов называется перестановкой.

Произвольные неупорядоченные подмножества данного конечного множества называются сочетаниями.

Упорядоченные подмножества данного конечного множества называются размещениями.

Произвольные неупорядоченные суммы натуральных слагаемых, равные самому числу, называются разбиениями.

Основные формулы без повторений

Введём обозначения:

n – число элементов конечного множества;

m – число элементов подмножества конечного множества из n элементов;

P_n – число перестановок из n элементов;

C^m_n – число сочетаний из n элементов по m элементов;

A^m_n – число размещений из n элементов по m элементов.

Для данных формул верны следующие соотношения:

Основные формулы с повторениями

Введём обозначения:

r – число видов (повторяющихся) элементов множества;

n – число элементов конечного множества, равное (сумме) n₁+n₂+...+n_r;

m – число элементов подмножества конечного множества;

P_{n,n1,n2,...,nr} – число перестановок из n элементов с n₁ повторениями элементов 1-го вида, с n₂ повторениями элементов 2-го вида, ..., с n_r повторениями элементов r-го вида.

C^m_n,m – число сочетаний из n элементов по m элементов с возможными m повторениями;

A^m_n,m – число размещений из n элементов по m элементов с возможными m повторениями.

Для данных формул верны следующие соотношения:

Ссылки

• Халамайзер А. Я. Комбинаторика и бином Ньютона, «Просвещение», М.,1980.
• Участник:Logic-samara