СМО с очередью
Содержание
Определение
СМО с очередью — это система массового обслуживания, в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
Постановка задачи
На вход n-канальной СМО с m-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из n каналов. После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди m.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди m-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания. Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
Граф состояний имеет вид:
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
S2 – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
…;
Sk – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;
…;
Sn – в системе имеется n-заявок, они обслуживаются n-каналами, очереди нет;
Sn+1 – в системе имеется (n+1)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
…;
Sn+r – в системе имеется (n+r)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, каналами, а r-заявок ожидают в очереди;
…;
Sn+m – в системе имеется (n+m)-заявок, n из них обслуживаются n-каналами, а m-заявок ожидают в очереди;
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,n+m), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pn+m.
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
При χ≠1 получаем
При χ=1 получаем
Другие СМО:
- СМО с отказами;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО с взаимопомощью с очередью;
- СМО с отказами и взаимопомощью;
- СМО с бесконечным числом каналов;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО замкнутая без очереди.
Ссылки
- Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Участник:Logic-samara