СМО с бесконечным числом каналов
Содержание
Определение
СМО с бесконечным числом каналов — это система массового обслуживания, в которой любая заявка немедленно обслуживается любым одним каналом.
Постановка задачи
На вход СМО с бесконечным числом каналов поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала μ. Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается любым одним из каналов. Если заявка застаёт занятым хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание любым из свободных каналов и обслуживается до конца. После окончания обслуживания одной заявки освобождается один канал.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
Граф состояний
Граф состояний имеет вид:
Рассмотрим множество состояний системы:
S0 – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
S1 – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
S2 – в системе имеется две заявки, они обслуживается двумя каналами;
…;
Sk-1 – в системе имеется (k-1)-заявок, они обслуживаются (k-1)-каналами;
Sk – в системе имеется k-заявок, они обслуживаются k-каналами;
Sk+1 – в системе имеется (k+1)-заявок, они обслуживаются (k+1)-каналами;
….
Система дифференциальных уравнений
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при t→∞).
Система уравнений принимает вид:
Суммируя в системе уравнения с первого до i-го (i=1,∞), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно p0,p1,…,pk,….
В результате получаем решение системы:
Основные характеристики системы
Другие СМО:
- СМО с отказами;
- СМО с очередью;
- СМО с ограниченным временем ожидания;
- СМО замкнутая с очередью;
- СМО с взаимопомощью с очередью;
- СМО с отказами и взаимопомощью;
- СМО с бесконечной очередью;
- СМО замкнутая без очереди.
Ссылки
- Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
- Участник:Logic-samara