Метод Ньютона — различия между версиями
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | |||
'''Метод Ньютона''' — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида '''F(X)=0''' с заданной точностью '''ε'''. | '''Метод Ньютона''' — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида '''F(X)=0''' с заданной точностью '''ε'''. | ||
| − | + | == Описание метода == | |
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки '''X''' по старой точке. | Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки '''X''' по старой точке. | ||
| − | |||
Для решения методом Ньютона системы '''n''' нелинейных уравнений с '''n''' неизвестными, то есть системы вида: | Для решения методом Ньютона системы '''n''' нелинейных уравнений с '''n''' неизвестными, то есть системы вида: | ||
| Строка 23: | Строка 21: | ||
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | ||
| − | |||
== Алгоритм решения == | == Алгоритм решения == | ||
Входные данные: '''F, Я, ε'''. | Входные данные: '''F, Я, ε'''. | ||
| Строка 30: | Строка 27: | ||
Выходные данные: '''X<sub>1</sub>'''. | Выходные данные: '''X<sub>1</sub>'''. | ||
| − | |||
* Заметим, что метод Ньютона при '''n=1''', то есть для нелинейного уравнения '''f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>)=0''', становится [[метод касательных|методом касательных]]. | * Заметим, что метод Ньютона при '''n=1''', то есть для нелинейного уравнения '''f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>)=0''', становится [[метод касательных|методом касательных]]. | ||
| − | |||
== Методы решения систем линейных уравнений: == | == Методы решения систем линейных уравнений: == | ||
| − | |||
*[[Метод Крамера]] | *[[Метод Крамера]] | ||
*[[Метод обратной матрицы]] | *[[Метод обратной матрицы]] | ||
| Строка 40: | Строка 34: | ||
*[[Метод простых итераций]] | *[[Метод простых итераций]] | ||
*[[Метод Зейделя]] | *[[Метод Зейделя]] | ||
| − | |||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | ||
Версия 19:47, 15 января 2016
Метод Ньютона — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида F(X)=0 с заданной точностью ε.
Содержание
Описание метода
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки X по старой точке.
Для решения методом Ньютона системы n нелинейных уравнений с n неизвестными, то есть системы вида:
где fi(x1,x2,… ,xn) для 1≤i≤n, дважды непрерывно дифференцируема (в некоторой окрестности решения X системы уравнений F(X)=0), сначала находим матрицу из частных производных для системы функций f1(x1,x2,… ,xn), f2(x1,x2,… ,xn), …, fn(x1,x2,… ,xn), которая называется матрицей Якоби:
Затем для k=0 выбираем начальную точку X0 в некоторой окрестности решения X*, причём ΔЯ(X0)≠0, например X0=(1;1;…;1). Далее на (k+1)-шаге вычисляем матрицу Якоби Я(Xk)=F’(Xk), систему функций F(Xk) в точке Xk, и новую точку Xk+1 вычисляем по формуле:
Расстояние между точками определяется по формуле:
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Алгоритм решения
Входные данные: F, Я, ε.
Выходные данные: X1.
- Заметим, что метод Ньютона при n=1, то есть для нелинейного уравнения f1(x1)=0, становится методом касательных.
Методы решения систем линейных уравнений:
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
