Метод Ньютона — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
== Определение == | == Определение == | ||
| − | '''Метод Ньютона''' | + | '''Метод Ньютона''' — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида '''F(X)=0''' с заданной точностью '''ε'''. |
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки '''X''' по старой точке. | Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки '''X''' по старой точке. | ||
| Строка 29: | Строка 29: | ||
[[файл:МН02.JPG]] | [[файл:МН02.JPG]] | ||
| − | Выходные данные: '''X'''. | + | Выходные данные: '''X<sub>1</sub>'''. |
| − | Заметим, что метод Ньютона при '''n=1''', то есть для нелинейного уравнения '''f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>)=0''', становится [[метод касательных|методом касательных]]. | + | * Заметим, что метод Ньютона при '''n=1''', то есть для нелинейного уравнения '''f<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>)=0''', становится [[метод касательных|методом касательных]]. |
| + | |||
| + | == Методы решения систем линейных уравнений: == | ||
| + | |||
| + | *[[Метод Крамера]] | ||
| + | *[[Метод обратной матрицы]] | ||
| + | *[[Метод Гаусса]] | ||
| + | *[[Метод простых итераций]] | ||
| + | *[[Метод Зейделя]] | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | * Демидович Б. П., Марон И. | + | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. |
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Алгоритмы]] | ||
Версия 14:14, 17 ноября 2015
Содержание
Определение
Метод Ньютона — это численный метод решения системы нелинейных уравнений вида F(X)=0 с заданной точностью ε.
Суть метода Ньютона состоит в расчётах новой точки X по старой точке.
Метод решения
Для решения методом Ньютона системы n нелинейных уравнений с n неизвестными, то есть системы вида:
где fi(x1,x2,… ,xn) для 1≤i≤n, дважды непрерывно дифференцируема (в некоторой окрестности решения X системы уравнений F(X)=0), сначала находим матрицу из частных производных для системы функций f1(x1,x2,… ,xn), f2(x1,x2,… ,xn), …, fn(x1,x2,… ,xn), которая называется матрицей Якоби:
Затем для k=0 выбираем начальную точку X0 в некоторой окрестности решения X*, причём ΔЯ(X0)≠0, например X0=(1;1;…;1). Далее на (k+1)-шаге вычисляем матрицу Якоби Я(Xk)=F’(Xk), систему функций F(Xk) в точке Xk, и новую точку Xk+1 вычисляем по формуле:
Расстояние между точками определяется по формуле:
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Алгоритм решения
Входные данные: F, Я, ε.
Выходные данные: X1.
- Заметим, что метод Ньютона при n=1, то есть для нелинейного уравнения f1(x1)=0, становится методом касательных.
Методы решения систем линейных уравнений:
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
