| (не показано 10 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 4: | Строка 4: | ||
'''Трактриса''' — это линия, исходящая из вершины '''M<sub>0</sub>''' в обе стороны, описываемая точкой '''M''', увлекаемой нерастяжимой нитью '''LM''' длиной '''R''', при движении точки '''L''' по направляющей (оси абсцисс). | '''Трактриса''' — это линия, исходящая из вершины '''M<sub>0</sub>''' в обе стороны, описываемая точкой '''M''', увлекаемой нерастяжимой нитью '''LM''' длиной '''R''', при движении точки '''L''' по направляющей (оси абсцисс). | ||
| − | Рассмотрим | + | Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки '''(0,R)'''. |
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| − | '''x<sub>1</sub>''' — абсцисса первой точки | + | '''x<sub>1</sub>''' — абсцисса (большая) первой точки; |
| − | '''y<sub>1</sub>''' — ордината первой точки | + | '''y<sub>1</sub>''' — ордината первой точки; |
| − | '''t<sub>1</sub>''' — параметр (меньший) первой точки | + | '''t<sub>1</sub>''' — параметр (меньший) первой точки; |
| − | '''x<sub>2</sub>''' — абсцисса второй точки | + | '''x<sub>2</sub>''' — абсцисса (меньшая) второй точки; |
| − | '''y<sub>2</sub>''' — ордината второй точки | + | '''y<sub>2</sub>''' — ордината второй точки; |
| − | '''t<sub>2</sub>''' — параметр (больший) второй точки | + | '''t<sub>2</sub>''' — параметр (больший) второй точки; |
'''R''' — высота трактрисы; | '''R''' — высота трактрисы; | ||
| Строка 34: | Строка 34: | ||
'''y= Rsint''' — параметрическое уравнение ординаты трактрисы; | '''y= Rsint''' — параметрическое уравнение ординаты трактрисы; | ||
| − | '''S<sub>трак</sub>''' — площадь, ограниченная | + | '''S<sub>трак</sub>''' — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при '''0≤x<sub>2</sub>≤x<sub>1</sub><∞'''. |
== Формула == | == Формула == | ||
[[файл:ПТРА01.JPG]] | [[файл:ПТРА01.JPG]] | ||
| − | * | + | * Площадь, ограниченная дугой трактрисы '''M<sub>0</sub>M''' и осью абсцисс, равна '''S<sub>t</sub>=R<sup>2</sup>(π-2t-sin2t)/4'''. |
| + | * Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, '''S<sub>трак</sub>=πR<sup>2</sup>/2'''. | ||
== Вывод формулы: == | == Вывод формулы: == | ||
[[файл:ПТРА11.JPG]] | [[файл:ПТРА11.JPG]] | ||
| − | * Для вывода используется формула "[[площадь плоской фигуры]]" | + | * Для вывода используется формула '''"[[площадь плоской фигуры]]"''' в параметрической форме. |
| − | == Другие | + | == Другие фигуры: == |
{{Список ППФ}} | {{Список ППФ}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
*[[Участник:Logic-samara]] | *[[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Математика]] | [[Категория:Математика]] | ||
Текущая версия на 07:46, 1 октября 2016
Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, — это число, характеризующее область под трактрисой при 0<x<∞ в единицах измерения площади.
Трактриса — это линия, исходящая из вершины M0 в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).
Рассмотрим области трактрисы, исходящей из точки (0,R).
Обозначения
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (большая) первой точки;
y1 — ордината первой точки;
t1 — параметр (меньший) первой точки;
x2 — абсцисса (меньшая) второй точки;
y2 — ордината второй точки;
t2 — параметр (больший) второй точки;
R — высота трактрисы;
L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;
M=(x,y) — точка трактрисы;
M0=(0,R) — вершина трактрисы;
t — параметрическая переменная;
x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;
y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;
Sтрак — площадь, ограниченная дугой трактрисы и осью абсцисс при 0≤x2≤x1<∞.
Формула
- Площадь, ограниченная дугой трактрисы M0M и осью абсцисс, равна St=R2(π-2t-sin2t)/4.
- Площадь, ограниченная трактрисой и осью абсцисс, равна половине площади круга радиуса равного высоте, Sтрак=πR2/2.
Вывод формулы:
- Для вывода используется формула "площадь плоской фигуры" в параметрической форме.
Другие фигуры:
- плоская фигура;
- круг;
- сегмент круга;
- сектор круга;
- сегмент правильного многоугольника;
- сектор правильного многоугольника;
- серп;
- сегмент параболы;
- эллипс;
- сегмент эллипса;
- сектор эллипса;
- серп эллипса;
- сегмент гиперболы;
- арка синусоиды;
- арка косинусоиды;
- фигура, ограниченная тангенсоидой и осью абсцисс;
- фигура, ограниченная котангенсоидой и осью абсцисс;
- арка циклоиды;
- сектор кардиоиды;
- фигура, ограниченная цепной линией и осью абсцисс;
- фигура, ограниченная трактрисой и осью абсцисс;
- сектор лемнискаты Бернулли.