Длина дуги астроиды — различия между версиями
(Новая страница: «'''Длина дуги астроиды''' — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в един…») |
|||
| (не показано 13 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| + | [[файл:АСТР01.JPG|thumb|300|Астроида]] | ||
'''Длина дуги астроиды''' — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины. | '''Длина дуги астроиды''' — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины. | ||
| − | '''Астроида''' — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса | + | '''Астроида''' — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса. |
| − | Рассмотрим дуги | + | Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки '''(0,R)''' до точки '''(R,0)'''. |
== Обозначения == | == Обозначения == | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| Строка 25: | Строка 26: | ||
'''M=(x,y)''' — точка астроиды; | '''M=(x,y)''' — точка астроиды; | ||
| − | '''M<sub>0</sub>=(0,R)''' — вершина | + | '''M<sub>0</sub>=(0,R)''' — вершина астроиды; |
| + | |||
| + | '''x<sup>2/3</sup>+y<sup>2/3</sup>=R<sup>2/3</sup>''' — уравнение астроиды; | ||
'''t''' — параметрическая переменная; | '''t''' — параметрическая переменная; | ||
| Строка 31: | Строка 34: | ||
'''x=Rcos<sup>3</sup>t''' — параметрическое уравнение абсциссы астроиды; | '''x=Rcos<sup>3</sup>t''' — параметрическое уравнение абсциссы астроиды; | ||
| − | '''y= Rsin<sup>3</sup>t''' — параметрическое уравнение ординаты астроиды; | + | '''y=Rsin<sup>3</sup>t''' — параметрическое уравнение ординаты астроиды; |
'''L<sub>дуг.астр</sub>''' — длина дуги астроиды. | '''L<sub>дуг.астр</sub>''' — длина дуги астроиды. | ||
== Формула == | == Формула == | ||
[[файл:ДАС01.JPG]] | [[файл:ДАС01.JPG]] | ||
| − | * Заметим, что длина дуги | + | * Заметим, что длина дуги астроиды '''M<sub>0</sub>M''' от вершины равна '''L<sub>x</sub>=3R<sup>1/3</sup>x<sup>2/3</sup>/2'''. |
== Вывод формулы == | == Вывод формулы == | ||
=== 1-ый способ === | === 1-ый способ === | ||
[[файл:ДАС11.JPG]] | [[файл:ДАС11.JPG]] | ||
| − | * Для вывода используется формула '''[[длина дуги плоской кривой]]''' | + | * Для вывода используется формула '''"[[длина дуги плоской кривой]]"''' в прямоугольных координатах. |
=== 2-ой способ === | === 2-ой способ === | ||
[[файл:ДАС12.JPG]] | [[файл:ДАС12.JPG]] | ||
| − | * Для вывода используется формула '''[[длина дуги плоской кривой]]''' | + | * Для вывода используется формула '''"[[длина дуги плоской кривой]]"''' в параметрической форме, причём '''0<t<sub>1</sub><t<sub>2</sub><π/2'''. |
| − | + | == Другие кривые: == | |
| − | == Другие | + | |
{{Список ДПК}} | {{Список ДПК}} | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
Текущая версия на 06:49, 1 октября 2016
Длина дуги астроиды — это число, характеризующее протяжённость дуги астроиды в единицах измерения длины.
Астроида — это линия, описываемая точкой малой окружности радиуса в четверть фиксированного радиуса, когда она катится без скольжения по внутреннкей стороне окружности фиксированного радиуса.
Рассмотрим дуги астроиды, исходящей из точки (0,R) до точки (R,0).
Содержание
Обозначения
Введём обозначения:
x1 — абсцисса (меньшая) первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
t1 — параметр первой точки дуги;
x2 — абсцисса (большая) второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
t2 — параметр второй точки дуги;
R — радиус окружности и высота астроиды;
r — радиус малой окружности;
M=(x,y) — точка астроиды;
M0=(0,R) — вершина астроиды;
x2/3+y2/3=R2/3 — уравнение астроиды;
t — параметрическая переменная;
x=Rcos3t — параметрическое уравнение абсциссы астроиды;
y=Rsin3t — параметрическое уравнение ординаты астроиды;
Lдуг.астр — длина дуги астроиды.
Формула
- Заметим, что длина дуги астроиды M0M от вершины равна Lx=3R1/3x2/3/2.
Вывод формулы
1-ый способ
- Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в прямоугольных координатах.
2-ой способ
- Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" в параметрической форме, причём 0<t1<t2<π/2.
Другие кривые:
Ссылки
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.814.
- Участник:Logic-samara
